Assinale a alternativa CORRETA.
Se é uma sequência convergente, então é monótona.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos perguntando. O enunciado diz: “Se é uma sequência convergente, então é monótona.” Aqui, estamos lidando com os conceitos de sequência convergente e sequência monótona, que fazem parte do estudo de Análise de Sequências em Matemática. Para resolver, precisamos saber o que significa uma sequência ser convergente e ser monótona.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor, chamado limite, quando cresce. Ou seja, existe um número tal que, para qualquer , existe um número onde, para todo , .

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa a sequência ser monótona. Uma sequência é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente. Formalmente:
  • Monótona crescente: Para todo , .
  • Monótona decrescente: Para todo , .

Passo 4

A questão está perguntando se toda sequência convergente necessariamente é monótona. Para responder, precisamos verificar se é sempre verdade ou se existem exceções.

Passo 5

Sabemos que toda sequência monótona e limitada é convergente. Isso é um teorema importante conhecido como Teorema da Monotonicidade. Mas será que o contrário é verdadeiro? Ou seja, toda sequência convergente é monótona?

Passo 6

Vamos pensar em um exemplo. Considere a sequência . Essa sequência converge para 1, porque tende a 0 quando cresce. No entanto, a sequência não é monótona, pois os sinais alternam e os termos não seguem uma tendência crescente ou decrescente constante.

Passo 7

Outro exemplo: é uma sequência que converge para 0 e é monótona decrescente. Já a sequência também converge para 0, mas não é monótona.

Passo 8

Portanto, nem toda sequência convergente é monótona. Existem sequências convergentes que não são monótonas, como demonstrado nos exemplos acima.

Resposta

A afirmação é falsa. Nem toda sequência convergente é monótona.

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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funçōes a seguir:
© , onde é um inteiro positivo.
Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde está entre as esferas e .
O limite da sequência é:
(a)
(b)
©
(d)
Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
(a) sequência limitada
( )