Assinale a alternativa CORRETA.
Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos perguntando. O enunciado diz: “Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.” Aqui, estamos lidando com os conceitos de sequência convergente e sequência monótona, que fazem parte do estudo de Análise de Sequências em Matemática. Para resolver, precisamos saber o que significa uma sequência ser convergente e ser monótona.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
é convergente se ela se aproxima de um certo valor, chamado limite, quando
cresce. Ou seja, existe um número
tal que, para qualquer
, existe um número
onde, para todo
,
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa a sequência ser monótona. Uma sequência é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente. Formalmente:
- Monótona crescente: Para todo
, . - Monótona decrescente: Para todo
, .
Passo 4
A questão está perguntando se toda sequência convergente necessariamente é monótona. Para responder, precisamos verificar se é sempre verdade ou se existem exceções.
Passo 5
Sabemos que toda sequência monótona e limitada é convergente. Isso é um teorema importante conhecido como Teorema da Monotonicidade. Mas será que o contrário é verdadeiro? Ou seja, toda sequência convergente é monótona?
Passo 6
Vamos pensar em um exemplo. Considere a sequência
. Essa sequência converge para 1, porque
tende a 0 quando
cresce. No entanto, a sequência não é monótona, pois os sinais alternam e os termos não seguem uma tendência crescente ou decrescente constante.
Passo 7
Outro exemplo:
é uma sequência que converge para 0 e é monótona decrescente. Já a sequência
também converge para 0, mas não é monótona.
Passo 8
Portanto, nem toda sequência convergente é monótona. Existem sequências convergentes que não são monótonas, como demonstrado nos exemplos acima.
Resposta
A afirmação é falsa. Nem toda sequência convergente é monótona.
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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funçōes a seguir:
© , onde
é um inteiro positivo.
©
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
está entre as esferas
e
.
O limite da sequência
é:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
(a) sequência limitada
( )
(a) sequência limitada
( )