Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde está entre as esferas e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que está entre duas esferas: uma de raio ( ) e outra de raio ( ). Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar nossos cálculos. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e configurar a integral adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a conversão para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo com o eixo positivo (chamado de ângulo polar).
  • é o ângulo no plano a partir do eixo positivo (chamado de ângulo azimutal).
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar, , em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de e :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para , e .
  • : A região está entre as esferas de raio e , então vai de a .
  • : O ângulo polar varia de a (toda a esfera).
  • : O ângulo azimutal varia de a (toda a volta no plano ).
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em :
Agora, a integral fica:
A integral em é simples:
E para a integral em :
Sabemos que:
Aplicando isso:
Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funçōes a seguir:
© , onde é um inteiro positivo.
Assinale a alternativa CORRETA.
Se é uma sequência convergente, então é monótona.