Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE(x^2+y^2) d V, onde E está entre as esferas x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que está entre duas esferas: uma de raio ( ) e outra de raio ( ). Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar nossos cálculos. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e configurar a integral adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a conversão para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por x = rho sintheta cosphi , onde:
  • y = rho sintheta sinphi é a distância do ponto até a origem.
  • z = rho costheta é o ângulo com o eixo positivo dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi (chamado de ângulo polar).
  • é o ângulo no plano a partir do eixo positivo (chamado de ângulo azimutal).
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar, x^2 + y^2 = (rho sintheta cosphi)^2 + (rho sintheta sinphi)^2 = rho^2 sin^2theta (cos^2phi + sin^2phi) = rho^2 sin^2theta , em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de integral triplaE (x^2 + y^2) , dV = integral triplaE rho^2 sin^2theta cdot rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi = integral triplaE rho^4 sin^3theta , drho , dtheta , dphi e :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para integral0^2pi integral0^pi integral2^3 rho^4 sin^3theta , drho , dtheta , dphi , e .
  • : A região está entre as esferas de raio e , então vai de a .
  • : O ângulo polar varia de a (toda a esfera).
  • : O ângulo azimutal varia de a (toda a volta no plano ).
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em integral2^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]2^3 = 3^55 - 2^55 = 2435 - 325 = 2115 :
2115 integral0^pi sin^3theta , dtheta integral0^2pi dphi
Agora, a integral fica:
integral0^2pi dphi = 2pi
A integral em integral0^pi sin^3theta , dtheta é simples:
integral sin^ntheta , dtheta = n-1n integral sin^n-2theta , dtheta
E para a integral em integral0^pi sin^3theta , dtheta = 23 integral0^pi sintheta , dtheta = 23 cdot 2 = 43 :
2115 cdot 43 cdot 2pi = 211 cdot 8pi15 = 1688pi15
Sabemos que:
Aplicando isso:
Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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