Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
está entre as esferas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região
, que está entre duas esferas: uma de raio
(
) e outra de raio
(
). Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar nossos cálculos. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e configurar a integral adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a conversão para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo com o eixo positivo (chamado de ângulo polar). -
é o ângulo no plano a partir do eixo positivo (chamado de ângulo azimutal).
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar,
, em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de
e
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração para
,
e
.
-
: A região está entre as esferas de raio e , então vai de a . -
: O ângulo polar varia de a (toda a esfera). -
: O ângulo azimutal varia de a (toda a volta no plano ).
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integral em
:
Agora, a integral fica:
A integral em
é simples:
E para a integral em
:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funçōes a seguir:
© , onde
é um inteiro positivo.
©
Assinale a alternativa CORRETA.
Se é uma sequência convergente, então
é monótona.
Se