Assinale a alternativa CORRETA.
(d) A solução geral da EDO
é
.
(d) A solução geral da EDO
Passo 1
Tudo bem! Vamos analisar a alternativa (d) do exercício que apresenta a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Conteúdo da matéria: Para resolver essa EDO, vamos usar conceitos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de solução de equações não homogêneas.
O que vamos precisar:
- Encontrar a solução da equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular da equação completa.
- Somar as soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Passo 2.1: Encontrar a equação característica
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação, temos:
Como
, a equação característica é:
Passo 2.2: Encontrar as raízes da equação característica
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla:
.
Passo 2.3: Escrever a solução geral da equação homogênea
Com uma raiz dupla, a solução geral da homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
Como o termo do lado direito é
, e
já é uma solução da homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar repetição. Vamos assumir uma solução particular na forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3.1: Calcular as derivadas de
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3.2: Substituir na equação original
Substituindo
,
, e
na equação:
Simplificando:
Para que as equações sejam iguais, os coeficientes devem ser iguais:
Da terceira equação:
Passo 3.3: Escrever a solução particular
Substituindo
:
Passo 4
Agora, somamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da EDO:
Resposta
A alternativa (d) apresenta a solução geral correta da EDO:
No entanto, após resolvermos a equação, verificamos que o termo da solução particular deveria ser
e não
. Portanto, a alternativa (d) está incorreta.
Exercícios relacionados
Assinale a alternativa INCORRETA.
© e
são soluções fundamentais da EDO
;
©
Assinale a alternativa INCORRETA.
(b) A solução do PVI e
é
;
(b) A solução do PVI
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(d)
(d)
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(e)
(e)