Assinale a alternativa CORRETA.
(d) A solução geral da EDO y'' - 2y' + y = e^x / x^4 é y(x) = e^x (A + B x + 1/(6 x^2)), A, B pertencem a R.

Passo 1

Tudo bem! Vamos analisar a alternativa (d) do exercício que apresenta a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Conteúdo da matéria: Para resolver essa EDO, vamos usar conceitos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de solução de equações não homogêneas.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar a solução da equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular da equação completa.
  3. Somar as soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Passo 2.1: Encontrar a equação característica
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução do tipo . Substituindo na equação, temos:
Como , a equação característica é:
Passo 2.2: Encontrar as raízes da equação característica
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla: .
Passo 2.3: Escrever a solução geral da equação homogênea
Com uma raiz dupla, a solução geral da homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa:
Como o termo do lado direito é , e e^x já é uma solução da homogênea, precisamos multiplicar por x para evitar repetição. Vamos assumir uma solução particular na forma:
onde C é uma constante a ser determinada.
Passo 3.1: Calcular as derivadas de
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3.2: Substituir na equação original
Substituindo , , e na equação:
Simplificando:
Para que as equações sejam iguais, os coeficientes devem ser iguais:
Da terceira equação:
Passo 3.3: Escrever a solução particular
Substituindo C:

Passo 4

Agora, somamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da EDO:

Resposta

A alternativa (d) apresenta a solução geral correta da EDO:
No entanto, após resolvermos a equação, verificamos que o termo da solução particular deveria ser e não . Portanto, a alternativa (d) está incorreta.

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