Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Então, substituímos na equação:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes reais:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A parte da direita é
, que são termos não homogêneos. Vamos encontrar soluções particulares para cada um desses termos separadamente e depois somar.
Passo 5
Primeiro, para o termo
, vamos assumir uma solução particular da forma:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
- Para
: - Para
: → → - Termo constante:
→ → →
Então, a solução particular para
é:
Passo 6
Agora, vamos para o termo
. Assumimos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Isso resulta em:
Igualando os coeficientes:
- Para
: - Para
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 7
Agora, juntamos as duas soluções particulares:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(d)
(d)
Assinale a alternativa CORRETA.
(d) A solução geral da EDO é
.
(d) A solução geral da EDO
12
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)
(m)