Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Então, substituímos na equação:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Então, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes reais:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A parte da direita é , que são termos não homogêneos. Vamos encontrar soluções particulares para cada um desses termos separadamente e depois somar.

Passo 5

Primeiro, para o termo , vamos assumir uma solução particular da forma:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Então, a solução particular para é:

Passo 6

Agora, vamos para o termo . Assumimos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Isso resulta em:
Igualando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,
Portanto, a solução particular para é:

Passo 7

Agora, juntamos as duas soluções particulares:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(d)
Assinale a alternativa CORRETA.
(d) A solução geral da EDO é .
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Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)