Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função . A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para isso, vamos precisar da definição da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aqui, é uma variável complexa e é o tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos usar uma fórmula de integração conhecida para a transformada de Laplace de funções trigonométricas. A integral de é uma das integrais padrão e pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais.

Passo 5

Usando a tabela de transformadas de Laplace, sabemos que:
Isso acontece porque a transformada de funções senoidais gera uma fração onde o numerador é o coeficiente da função senoidal e o denominador é o quadrado de mais o quadrado do coeficiente da função.

Resposta

Exercícios relacionados

Assinale a alternativa CORRETA.
(d) A solução geral da EDO é .
Assinale a alternativa INCORRETA.
© e são soluções fundamentais da EDO ;
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(e)
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Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)