Assinale a alternativa correta, dados os vetores ,
e as afirmações:
I) e são L.D
II) e são L.I.
III) e são L.D.
IV) e são L.I.
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são seis vetores no espaço 3D e algumas afirmações sobre eles serem linearmente dependentes (L.D) ou independentes (L.I). A matéria que vamos usar é dependência e independência linear de vetores. Para resolver, vamos verificar cada grupo de vetores e ver se algum pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os vetores , e . Para saber se eles são linearmente dependentes ou independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, eles são L.D; se for diferente de zero, são L.I.
A matriz fica assim:
Vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores , e são linearmente independentes (L.I).

Passo 4

Agora, vamos analisar os vetores , e . Novamente, vamos montar a matriz e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
O determinante é zero, então os vetores , e são linearmente dependentes (L.D).

Resposta

A alternativa correta é b) I e III são verdadeiras.

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(a) Calcule o produto misto , sabendo que a área do paralelogramo gerado por e é igual a 3 u.a. (unidade de área).
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e
(b) Sabendo que projeção ortogonal de sobre é um vetor da forma , use os dados do item anterior e o produto escalar para determinar o valor de .