Assinale a alternativa correta, dados os vetores ,
e as afirmações:
I) e são L.D
II) e são L.I.
III) e são L.D.
IV) e são L.I.
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são seis vetores no espaço 3D e algumas afirmações sobre eles serem linearmente dependentes (L.D) ou independentes (L.I). A matéria que vamos usar é dependência e independência linear de vetores. Para resolver, vamos verificar cada grupo de vetores e ver se algum pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os vetores , e . Para saber se eles são linearmente dependentes ou independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, eles são L.D; se for diferente de zero, são L.I.
A matriz fica assim:
Vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero (), os vetores , e são linearmente independentes (L.I).
Passo 4
Agora, vamos analisar os vetores , e . Novamente, vamos montar a matriz e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
O determinante é zero, então os vetores , e são linearmente dependentes (L.D).
Resposta
A alternativa correta é b) I e III são verdadeiras.