Assinale a alternativa correta, dados os vetores u=(-2,1,4),
v=(1,0,-1), w=(2,-3,0), a=(1,0,1), b=(-1,2,-3), c=(4,0,4)
e as afirmações:
I) u, v e w são L.D
II) u, v e w são L.I.
III) a, b e c são L.D.
IV) a, b e c são L.I.
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são seis vetores no espaço 3D e algumas afirmações sobre eles serem linearmente dependentes (L.D) ou independentes (L.I). A matéria que vamos usar é dependência e independência linear de vetores. Para resolver, vamos verificar cada grupo de vetores e ver se algum pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os vetores u, v e w. Para saber se eles são linearmente dependentes ou independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, eles são L.D; se for diferente de zero, são L.I.
A matriz fica assim:
-2 & 1 & 2 1 & 0 & -3 4 & -1 & 0
Vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante:
-2 & 1 & 2 1 & 0 & -3 4 & -1 & 0 = -2 cdot 0 & -3 -1 & 0 - 1 cdot 1 & -3 4 & 0 + 2 cdot 1 & 0 4 & -1
= -2 cdot (0 cdot 0 - (-3) cdot (-1)) - 1 cdot (1 cdot 0 - (-3) cdot 4) + 2 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 4)
= -2 cdot (0 - 3) - 1 cdot (0 + 12) + 2 cdot (-1 - 0)
= -2 cdot (-3) - 1 cdot 12 + 2 cdot (-1)
= 6 - 12 - 2 = -8
Como o determinante é diferente de zero ( -8 neq 0), os vetores u, v e w são linearmente independentes (L.I).

Passo 4

Agora, vamos analisar os vetores a, b e c. Novamente, vamos montar a matriz e calcular o determinante:
1 & -1 & 4 0 & 2 & 0 1 & -3 & 4
Calculando o determinante:
1 & -1 & 4 0 & 2 & 0 1 & -3 & 4 = 1 cdot 2 & 0 -3 & 4 - (-1) cdot 0 & 0 1 & 4 + 4 cdot 0 & 2 1 & -3
= 1 cdot (2 cdot 4 - 0 cdot (-3)) + 1 cdot (0 cdot 4 - 0 cdot 1) + 4 cdot (0 cdot (-3) - 2 cdot 1)
= 1 cdot 8 + 1 cdot 0 + 4 cdot (-2)
= 8 + 0 - 8 = 0
O determinante é zero, então os vetores a, b e c são linearmente dependentes (L.D).

Resposta

A alternativa correta é b) I e III são verdadeiras.

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