(a) Calcule o produto misto , sabendo que a área do paralelogramo gerado por e é igual a 3 u.a. (unidade de área).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o produto misto . Isso está relacionado com vetores no espaço e operações entre eles. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é produto misto e o que é o produto vetorial ( ). Além disso, sabemos que a área do paralelogramo formado por e é 3 unidades de área.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é dado por:
Ele resulta em um número que representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso problema, temos:
Esse é o produto que precisamos calcular.

Passo 4

Para simplificar , usamos a identidade do produto vetorial:
Aplicando essa identidade:

Passo 5

Sabemos que e . Então:

Passo 6

Agora substituímos de volta no produto misto:
Distribuindo o produto escalar:

Passo 7

Simplificando, temos:
Esse é o determinante da matriz formada por e , conhecido como a fórmula do determinante para vetores no plano.

Passo 8

Lembrando que a área do paralelogramo formado por e é dada por . Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 9

Portanto, o valor do produto misto é:

Resposta

O valor do produto misto é igual a 9.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de :
Assinale a alternativa correta, dados os vetores ,
e as afirmações:
I) e são L.D
II) e são L.I.
III) e são L.D.
IV) e são L.I.
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e