(a) Calcule o produto misto [u, v, u times v], sabendo que a área do paralelogramo gerado por u e v é igual a 3 u.a. (unidade de área).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o produto misto [u, v, u times v]. Isso está relacionado com vetores no espaço e operações entre eles. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é produto misto e o que é o produto vetorial ( times). Além disso, sabemos que a área do paralelogramo formado por u e v é 3 unidades de área.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores a, b e c é dado por:
[a, b, c] = a cdot (b times c)
Ele resulta em um número que representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso problema, temos:
[u, v, u times v] = u cdot (v times (u times v))
Esse é o produto que precisamos calcular.

Passo 4

Para simplificar v times (u times v), usamos a identidade do produto vetorial:
a times (b times c) = b (a cdot c) - c (a cdot b)
Aplicando essa identidade:
v times (u times v) = u (v cdot v) - v (v cdot u)

Passo 5

Sabemos que v cdot v = |v|^2 e v cdot u = u cdot v. Então:
v times (u times v) = u |v|^2 - v (u cdot v)

Passo 6

Agora substituímos de volta no produto misto:
[u, v, u times v] = u cdot (u |v|^2 - v (u cdot v))
Distribuindo o produto escalar:
= u cdot u |v|^2 - u cdot v (u cdot v)

Passo 7

Simplificando, temos:
= |u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2
Esse é o determinante da matriz formada por u e v, conhecido como a fórmula do determinante para vetores no plano.

Passo 8

Lembrando que a área do paralelogramo formado por u e v é dada por |u times v| = 3. Sabemos que:
|u times v| = raiz|u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2 = 3
Elevando ambos os lados ao quadrado:
|u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2 = 9

Passo 9

Portanto, o valor do produto misto é:
[u, v, u times v] = 9

Resposta

O valor do produto misto [u, v, u times v] é igual a 9.

Exercícios relacionados