(a) Calcule o produto misto
, sabendo que a área do paralelogramo gerado por
e
é igual a 3 u.a. (unidade de área).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o produto misto
. Isso está relacionado com vetores no espaço e operações entre eles. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é produto misto e o que é o produto vetorial (
). Além disso, sabemos que a área do paralelogramo formado por
e
é 3 unidades de área.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores
,
e
é dado por:
Ele resulta em um número que representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 3
Agora, aplicando isso ao nosso problema, temos:
Esse é o produto que precisamos calcular.
Passo 4
Para simplificar
, usamos a identidade do produto vetorial:
Aplicando essa identidade:
Passo 5
Sabemos que
e
. Então:
Passo 6
Agora substituímos de volta no produto misto:
Distribuindo o produto escalar:
Passo 7
Simplificando, temos:
Esse é o determinante da matriz formada por
e
, conhecido como a fórmula do determinante para vetores no plano.
Passo 8
Lembrando que a área do paralelogramo formado por
e
é dada por
. Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Portanto, o valor do produto misto é:
Resposta
O valor do produto misto
é igual a 9.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
:
Assinale a alternativa correta, dados os vetores
,
e as afirmações:
I) e
são L.D
II) e
são L.I.
III) e
são L.D.
IV) e
são L.I.
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.
I)
II)
III)
IV)
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD.
e