Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores,
e
, e precisamos determinar se esses vetores são Linearmente Dependentes (L.D.) ou Linearmente Independentes (L.I.). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Vamos precisar verificar se existe uma combinação linear não trivial que relaciona esses vetores.
Passo 2
O que significa os vetores serem Linearmente Dependentes? Significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um número (escala) diferente de zero. Se conseguirmos encontrar um número
tal que
ou
, então os vetores são L.D. Se não conseguirmos, eles são L.I.
Passo 3
Vamos tentar encontrar esse número
. Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores.
Para a primeira componente:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se esse valor de
satisfaz as outras componentes.
Para a segunda componente:
Substituindo
:
Isso é verdadeiro.
Para a terceira componente:
Substituindo
:
Também é verdadeiro.
Resposta
Como conseguimos um valor de
que satisfaz todas as componentes, os vetores
e
são Linearmente Dependentes (L.D.).
Exercícios relacionados
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
:
Dada a transformação linear
definida por
Determine o conjunto
. Determine também o conjunto
.
(a) Calcule o produto misto
, sabendo que a área do paralelogramo gerado por
e
é igual a 3 u.a. (unidade de área).
Assinale a alternativa correta, dados os vetores
,
e as afirmações:
I) e
são L.D
II) e
são L.I.
III) e
são L.D.
IV) e
são L.I.
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.
I)
II)
III)
IV)
a) I e Il são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e IV são verdadeiras.
d) II e III são verdadeiras.
e) I e IV são verdadeiras.