Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
w=(1,-2,1) e v=(2,-4,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, w = (1, -2, 1) e v = (2, -4, 2), e precisamos determinar se esses vetores são Linearmente Dependentes (L.D.) ou Linearmente Independentes (L.I.). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Vamos precisar verificar se existe uma combinação linear não trivial que relaciona esses vetores.

Passo 2

O que significa os vetores serem Linearmente Dependentes? Significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um número (escala) diferente de zero. Se conseguirmos encontrar um número k tal que w = k cdot v ou v = k cdot w, então os vetores são L.D. Se não conseguirmos, eles são L.I.

Passo 3

Vamos tentar encontrar esse número k. Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores.
Para a primeira componente:
1 = k cdot 2
Resolvendo para k:
k = 12

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse valor de k satisfaz as outras componentes.
Para a segunda componente:
-2 = k cdot (-4)
Substituindo k = 12:
-2 = 12 cdot (-4)
-2 = -2
Isso é verdadeiro.
Para a terceira componente:
1 = k cdot 2
Substituindo k = 12:
1 = 12 cdot 2
1 = 1
Também é verdadeiro.

Resposta

Como conseguimos um valor de k = 12 que satisfaz todas as componentes, os vetores w e v são Linearmente Dependentes (L.D.).

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