Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar se os vetores e são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Isso tudo faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa os vetores serem LI ou LD e usar essa definição para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem Linearmente Independentes ou Dependentes. Vetores são Linearmente Independentes (LI) se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Ou seja, não existe um número (escalar) que multiplique um vetor para chegar no outro.
Por outro lado, os vetores são Linearmente Dependentes (LD) se pelo menos um vetor pode ser expresso como uma combinação linear do(s) outro(s). No caso de dois vetores, isso significa que um é um múltiplo do outro.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe um escalar tal que . Se conseguirmos encontrar esse , os vetores são LD. Se não, são LI.
Vamos escrever isso:
Isso nos d�� um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver cada equação para encontrar :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 5
Observamos que não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Isso significa que não há um escalar que multiplique para resultar em .
Passo 6
Como não encontramos um que liga os dois vetores, concluímos que eles não são múltiplos um do outro. Portanto, os vetores e são Linearmente Independentes (LI).