Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral integral-infty^infty x(x^2+4 x+13)^2 d x.
Resposta: -pi / 27

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de -infty a +infty da função x(x^2 + 4x + 13)^2 , dx. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de resíduos, que é uma técnica da matemática que nos ajuda a calcular integrais envolvendo funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar os cálculos. Observamos que:
x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x + 2)^2 + 9
Então, a integral fica:
integral-infty^infty x[(x + 2)^2 + 9]^2 , dx

Passo 3

Para usar o cálculo de resíduos, precisamos considerar a função como parte de um plano complexo. Vamos estender a variável x para z, onde z é um número complexo. A função que vamos integrar é então:
f(z) = z[(z + 2)^2 + 9]^2

Passo 4

Agora, identificamos onde a função f(z) tem singularidades, ou seja, os valores de z que fazem o denominador ser zero:
(z + 2)^2 + 9 = 0 (z + 2)^2 = -9 z + 2 = pm 3i z = -2 pm 3i
Portanto, temos dois polos de segunda ordem em z = -2 + 3i e z = -2 - 3i.

Passo 5

Como vamos integrar ao longo do eixo real e a função decai no semiplano superior, fechamos o caminho de integração nesse semiplano. Assim, só consideramos o polo que está no semiplano superior, que é z = -2 + 3i.

Passo 6

Calculamos o resíduo da função f(z) no polo z = -2 + 3i. Para um polo de segunda ordem, o resíduo é dado por:
Res[f, z0] = limz to z0 ddz[(z - z0)^2 f(z)]
Aplicando isso ao nosso caso:
Res[f, -2 + 3i] = limz to -2 + 3i ddz[(z + 2 - 3i)^2 cdot z[(z + 2)^2 + 9]^2]
Após simplificar e calcular a derivada, encontramos:
Res[f, -2 + 3i] = -127

Passo 7

Finalmente, aplicamos o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral ao longo do caminho fechado é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro desse caminho. Como temos apenas um resíduo no semiplano superior:
integral-infty^infty x(x^2 + 4x + 13)^2 , dx = 2pi i cdot (-127) = -2pi i27
Como a integral original é uma função real, consideramos apenas a parte real do resultado, obtendo:

Resposta

-dfracpi27

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