Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
a
da função
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de resíduos, que é uma técnica da matemática que nos ajuda a calcular integrais envolvendo funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar os cálculos. Observamos que:
Então, a integral fica:
Passo 3
Para usar o cálculo de resíduos, precisamos considerar a função como parte de um plano complexo. Vamos estender a variável
para
, onde
é um número complexo. A função que vamos integrar é então:
Passo 4
Agora, identificamos onde a função
tem singularidades, ou seja, os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Portanto, temos dois polos de segunda ordem em
e
.
Passo 5
Como vamos integrar ao longo do eixo real e a função decai no semiplano superior, fechamos o caminho de integração nesse semiplano. Assim, só consideramos o polo que está no semiplano superior, que é
.
Passo 6
Calculamos o resíduo da função
no polo
. Para um polo de segunda ordem, o resíduo é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Após simplificar e calcular a derivada, encontramos:
Passo 7
Finalmente, aplicamos o teorema dos resíduos, que nos diz que a integral ao longo do caminho fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse caminho. Como temos apenas um resíduo no semiplano superior:
Como a integral original é uma função real, consideramos apenas a parte real do resultado, obtendo: