Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
w = e^(x * y^2 * z^3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação, como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a , e .
Derivada parcial em relação a :
Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de em relação a é , multiplicada pela derivada de em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as primeiras derivadas parciais em relação a , e .
Segunda derivada parcial em relação a e depois a :
Aplicamos a regra do produto:
Segunda derivada parcial em relação a e depois a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Segunda derivada parcial em relação a e depois a :
Aplicando a regra do produto:
Continuando da mesma forma, calculamos as demais segundas derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de terceira ordem. Isso envolve derivar as segundas derivadas parciais mais uma vez em relação a , e .
Terceira derivada parcial em relação a , e :
Aplicando a regra do produto:
Seguindo dessa forma, calculamos todas as possíveis derivadas de terceira ordem:
Cada uma dessas derivadas será obtida aplicando novamente a regra do produto e simplificando os termos resultantes.

Resposta

As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função são dadas por:
Segundas Derivadas:
Terceiras Derivadas:
Essas expressões representam todas as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função dada.

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