Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação, como a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
em relação a
é
, multiplicada pela derivada de
em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as primeiras derivadas parciais em relação a
,
e
.
Segunda derivada parcial em relação a
e depois a
:
Aplicamos a regra do produto:
Segunda derivada parcial em relação a
e depois a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Segunda derivada parcial em relação a
e depois a
:
Aplicando a regra do produto:
Continuando da mesma forma, calculamos as demais segundas derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de terceira ordem. Isso envolve derivar as segundas derivadas parciais mais uma vez em relação a
,
e
.
Terceira derivada parcial em relação a
,
e
:
Aplicando a regra do produto:
Seguindo dessa forma, calculamos todas as possíveis derivadas de terceira ordem:
Cada uma dessas derivadas será obtida aplicando novamente a regra do produto e simplificando os termos resultantes.
Resposta
As derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
são dadas por:
Segundas Derivadas:
Terceiras Derivadas:
Essas expressões representam todas as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função dada.