Considere um cone circular reto de madeira, com raio da base igual a 20cm e altura 40cm. É feito um furo cilíndrico de raio interno igual a 5cm, atravessando todo o cone e com o mesmo eixo. Qual o volume, em cm³, do sólido assim obtido?

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um cone de madeira com raio da base de 20 cm e altura de 40 cm. Além disso, foi feito um furo cilíndrico com raio de 5 cm, passando por todo o cone e alinhado com o eixo do cone. Nosso objetivo aqui é descobrir o volume do sólido que sobra depois de fazer esse furo. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de volume do cone e do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cone inteiro antes de fazer o furo. A fórmula para o volume de um cone é:
Vcone = 13 pi r^2 h
Onde:
- $ r $ é o raio da base
- $ h $ é a altura
Substituindo os valores que temos:
r
h
Vcone = 13 pi (20)^2 (40)
Vcone = 13 pi (400) (40)
Vcone = 13 pi (16000)

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do furo cilíndrico. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Vcilindro = pi r^2 h
Onde:
- $ r $ é o raio do cilindro
- $ h $ é a altura (que, nesse caso, é a mesma do cone, 40 cm)
Substituindo os valores:
r
h
Vcilindro = pi (5)^2 (40)
Vcilindro = pi (25) (40)

Passo 4

Agora que temos os volumes do cone e do cilindro, vamos subtrair o volume do cilindro do volume do cone para encontrar o volume do sólido que sobra:
Vsólido = Vcone - Vcilindro ó
Vsólido = 160003 pi - 1000 pi ó
Para facilitar a subtração, é bom ter o mesmo denominador:
Vsólido = 160003 pi - 30003 pi ó
Vsólido = 16000 - 30003 pi ó
Vsólido = 130003 pi ó
Vsólido approx 4333,33 pi , cm^3 ó

Resposta

O volume do sólido obtido é aproximadamente $ 4333{,}33,\pi , cm^3 $, o que dá cerca de 13.618 cm³.

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