Assinale a equação da reta tangente à curva de equações paramétricas e no ponto em que .
(
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas e no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para curvas paramétricas. Vamos precisar calcular as coordenadas do ponto correspondente a e a inclinação da reta tangente nesse ponto para, depois, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Isso significa substituir nas equações paramétricas.
Calculando :
Calculando :
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas e e, em seguida, usar a fórmula da derivada de em relação a para curvas paramétricas:
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :

Passo 4

Agora, substituímos nas derivadas para encontrar naquele ponto.
Calculando em :
Calculando em :
Agora, a inclinação da reta tangente é:

Passo 5

Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixar na forma algo.
Distribuindo a fração:
Agora, isolando o :
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Finalmente, multiplicando ambos os lados por 3:
Dividindo tudo por 9:

Resposta

A equação da reta tangente é , ou seja, a alternativa a) .

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h)