Assinale a equação da reta tangente à curva de equações paramétricas
e
no ponto em que
.
(
b)
c)
d)
e)
(
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas
e
no ponto onde
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para curvas paramétricas. Vamos precisar calcular as coordenadas do ponto correspondente a
e a inclinação da reta tangente nesse ponto para, depois, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando
. Isso significa substituir
nas equações paramétricas.
Calculando
:
Calculando
:
Então, o ponto em questão é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular as derivadas
e
e, em seguida, usar a fórmula da derivada de
em relação a
para curvas paramétricas:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 4
Agora, substituímos
nas derivadas para encontrar
naquele ponto.
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Agora, a inclinação
da reta tangente é:
Passo 5
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixar na forma
algo.
Distribuindo a fração:
Agora, isolando o
:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Finalmente, multiplicando ambos os lados por 3:
Dividindo tudo por 9:
Resposta
A equação da reta tangente é
, ou seja, a alternativa a)
.
Exercícios relacionados
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?
Encontre uma equação para a tangente à elipse
no ponto
.
Seja
a temperatura na localização
. Suponha que
. Seja
um caminho no plano. Encontre os valores de
tais que
Resolva em
as seguintes inequações
h)
h)