Encontre uma equação para a tangente à elipse
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à elipse dada por
no ponto
. Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas e geometria analítica para achar essa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse:
. Aqui, vemos que a elipse está centrada na origem e seus semi-eixos são de comprimento 2 (no eixo x) e
(no eixo y).
Passo 3
Para encontrar a reta tangente em um ponto específico da elipse, podemos usar a derivada para achar a inclinação da tangente naquele ponto. Vamos derivar a equação da elipse em relação a
.
Passo 4
Derivando
em relação a
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Isolando
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 6
Agora, vamos calcular a inclinação no ponto
substituindo
e
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação da reta tangente à elipse
no ponto
é
.