Encontre uma equação para a tangente à elipse x^2/4 + y^2 = 2 no ponto -2,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à elipse dada por no ponto . Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas e geometria analítica para achar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse: . Aqui, vemos que a elipse está centrada na origem e seus semi-eixos são de comprimento 2 (no eixo x) e raiz(2) (no eixo y).

Passo 3

Para encontrar a reta tangente em um ponto específico da elipse, podemos usar a derivada para achar a inclinação da tangente naquele ponto. Vamos derivar a equação da elipse em relação a x.

Passo 4

Derivando em relação a x, temos:
Simplificando:

Passo 5

Isolando para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 6

Agora, vamos calcular a inclinação no ponto substituindo e na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1/2.

Passo 7

Com a inclinação 1/2 e passando pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto é .

Exercícios relacionados