Encontre uma equação para a tangente à elipse no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à elipse dada por no ponto . Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas e geometria analítica para achar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse: . Aqui, vemos que a elipse está centrada na origem e seus semi-eixos são de comprimento 2 (no eixo x) e (no eixo y).

Passo 3

Para encontrar a reta tangente em um ponto específico da elipse, podemos usar a derivada para achar a inclinação da tangente naquele ponto. Vamos derivar a equação da elipse em relação a .

Passo 4

Derivando em relação a , temos:
Simplificando:

Passo 5

Isolando para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 6

Agora, vamos calcular a inclinação no ponto substituindo e na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto é .

Exercícios relacionados

Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
h)
Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar no ponto em que .
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?
Assinale a equação da reta tangente à curva de equações paramétricas e no ponto em que .
(
b)
c)
d)
e)