Encontre uma equação para a tangente à elipse no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à elipse dada por no ponto . Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas e geometria analítica para achar essa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse: . Aqui, vemos que a elipse está centrada na origem e seus semi-eixos são de comprimento 2 (no eixo x) e (no eixo y).
Passo 3
Para encontrar a reta tangente em um ponto específico da elipse, podemos usar a derivada para achar a inclinação da tangente naquele ponto. Vamos derivar a equação da elipse em relação a .
Passo 4
Derivando em relação a , temos:
Simplificando:
Passo 5
Isolando para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 6
Agora, vamos calcular a inclinação no ponto substituindo e na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 7
Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta: