As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo x ?
y1 = cos(x), y2 = sen(x), y3 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se as funções , e são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no eixo . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear que pertence ao estudo de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa funções serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Em outras palavras, a única solução para a equação para todo é quando todos os coeficientes , e são zero.

Passo 3

Para verificar isso, vamos montar a equação:
Queremos ver se essa equação só é verdadeira quando .

Passo 4

Vamos escolher alguns valores de para simplificar a equação e resolver o sistema de equações resultante. Por exemplo:
  1. Se :
  1. Se :
  1. Se :

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da primeira equação:
  • Da terceira equação:
  • Assim, e da segunda equação

Resposta

Como a única solução possível é , as funções , e são linearmente independentes.

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