As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se as funções , e são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no eixo . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear que pertence ao estudo de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa funções serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Em outras palavras, a única solução para a equação para todo é quando todos os coeficientes , e são zero.
Passo 3
Para verificar isso, vamos montar a equação:
Queremos ver se essa equação só é verdadeira quando .
Passo 4
Vamos escolher alguns valores de para simplificar a equação e resolver o sistema de equações resultante. Por exemplo:
Se :
Se :
Se :
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Assim, e da segunda equação
Resposta
Como a única solução possível é , as funções , e são linearmente independentes.