Seja a temperatura na localização . Suponha que . Seja um caminho no plano. Encontre os valores de tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pergunta sobre a temperatura em um ponto específico no plano, dada pela função . A gente sabe que o gradiente dessa temperatura é . Além disso, temos um caminho no plano definido por . A missão é encontrar os valores de que fazem a derivada de ao longo desse caminho ser zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a regra da cadeia, derivadas vetoriais e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a derivada de em relação a ao longo do caminho . Para calcular essa derivada, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, é o gradiente de , e é a derivada do vetor posição em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Dado que , derivando cada componente em relação a temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular no ponto . O gradiente dado é . Substituindo e :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
O produto escalar desses vetores é:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Vamos resolver essa equação:
As soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

Exercícios relacionados

Assinale a equação da reta tangente à curva de equações paramétricas e no ponto em que .
(
b)
c)
d)
e)
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?
Resolva em as seguintes inequações
h)
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).