Seja
a temperatura na localização
. Suponha que
. Seja
um caminho no plano. Encontre os valores de
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pergunta sobre a temperatura em um ponto específico no plano, dada pela função
. A gente sabe que o gradiente dessa temperatura é
. Além disso, temos um caminho no plano definido por
. A missão é encontrar os valores de
que fazem a derivada de
ao longo desse caminho ser zero, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a regra da cadeia, derivadas vetoriais e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é a derivada de
em relação a
ao longo do caminho
. Para calcular essa derivada, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
A regra da cadeia nos diz que:
Aqui,
é o gradiente de
, e
é a derivada do vetor posição
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Dado que
, derivando cada componente em relação a
temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
no ponto
. O gradiente dado é
. Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
O produto escalar desses vetores é:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Vamos resolver essa equação:
As soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem
são
e
.
Exercícios relacionados
Assinale a equação da reta tangente à curva de equações paramétricas
e
no ponto em que
.
(
b)
c)
d)
e)
(
b)
c)
d)
e)
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?
Resolva em
as seguintes inequações
h)
h)
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).