Seja T(x, y) a temperatura na localização (x, y). Suponha que nabla T = (y - 4, x + 2y). Seja r(t) = (t^2, t) um caminho no plano. Encontre os valores de t tais que
d/dt T(r(t)) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pergunta sobre a temperatura em um ponto específico no plano, dada pela função T(x, y). A gente sabe que o gradiente dessa temperatura é . Além disso, temos um caminho no plano definido por . A missão é encontrar os valores de t que fazem a derivada de T ao longo desse caminho ser zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a regra da cadeia, derivadas vetoriais e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a derivada de T em relação a t ao longo do caminho r(t). Para calcular essa derivada, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, é o gradiente de T, e é a derivada do vetor posição r(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular . Dado que , derivando cada componente em relação a t temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular no ponto vec(r)(t). O gradiente dado é . Substituindo e :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
O produto escalar desses vetores é:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Vamos resolver essa equação:
As soluções são:

Resposta

Os valores de t que satisfazem são e .

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