Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos a equação diferencial . O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e para integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é de variáveis separáveis. Isso significa que podemos escrever a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro.
A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por :
Isso nos dá:
Agora, as variáveis estão separadas!

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integração vai nos ajudar a encontrar a função .
Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 4

Depois de integrar, igualamos as duas expressões:
Podemos combinar as constantes e em uma só constante :

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Como é apenas uma constante, podemos chamar de :

Resposta

A solução da equação diferencial é onde é uma constante arbitrária.

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Verifique que a função dada é solução da equação dada. , e
Determine, caso existam, as soluções constantes.