Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é de variáveis separáveis. Isso significa que podemos escrever a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro.
A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Agora, as variáveis estão separadas!
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integração vai nos ajudar a encontrar a função
.
Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 4
Depois de integrar, igualamos as duas expressões:
Podemos combinar as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
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Verifique que a função dada é solução da equação dada.
, e
Determine, caso existam, as soluções constantes.