Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é de variáveis separáveis e, se for, resolver ela. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente o método de variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar saber como separar as variáveis da equação e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
Queremos ver se conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos reescrever a equação para tentar isso.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para isolar os termos com
:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Essa forma é mais fácil de trabalhar para resolver a equação.
Passo 4
Essa equação é uma Equação Diferencial Linear de primeira ordem, que tem a forma:
No nosso caso, identificamos:
Passo 5
Para resolver esse tipo de equação, usamos o Fator Integrante, que é dado por:
Vamos calcular o fator integrante para nossa equação.
Passo 6
Calculando o fator integrante:
Onde usamos que
.
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 8
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Essa integral pode ser complexa, mas o importante aqui é que conseguimos expressar
em termos de
.
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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