Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é de variáveis separáveis e, se for, resolver ela. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente o método de variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar saber como separar as variáveis da equação e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
Queremos ver se conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Vamos reescrever a equação para tentar isso.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para isolar os termos com :
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Essa forma é mais fácil de trabalhar para resolver a equação.

Passo 4

Essa equação é uma Equação Diferencial Linear de primeira ordem, que tem a forma:
No nosso caso, identificamos:

Passo 5

Para resolver esse tipo de equação, usamos o Fator Integrante, que é dado por:
Vamos calcular o fator integrante para nossa equação.

Passo 6

Calculando o fator integrante:
Onde usamos que .

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Passo 8

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 10

A integral do lado esquerdo simplifica para:
Essa integral pode ser complexa, mas o importante aqui é que conseguimos expressar em termos de .

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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