Determine, caso existam, as soluções constantes. d y/d x = (y^2 + 2 y)/x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as soluções constantes da equação diferencial para . Ou seja, queremos descobrir quais valores de permanecem fixos enquanto varia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma solução constante e como aplicá-la na equação dada.

Passo 2

Primeiro, uma solução constante significa que não muda com ; ou seja, é uma constante, digamos . Se é constante, a derivada é igual a zero. Então, substituímos por na equação diferencial:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Como , podemos multiplicar ambos os lados por sem alterar a igualdade:

Passo 4

Temos agora uma equação quadrática em :
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Resposta

As soluções constantes são e .

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