Determine, caso existam, as soluções constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as soluções constantes da equação diferencial
para
. Ou seja, queremos descobrir quais valores de
permanecem fixos enquanto
varia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma solução constante e como aplicá-la na equação dada.
Passo 2
Primeiro, uma solução constante significa que
não muda com
; ou seja,
é uma constante, digamos
. Se
é constante, a derivada
é igual a zero. Então, substituímos
por
na equação diferencial:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem alterar a igualdade:
Passo 4
Temos agora uma equação quadrática em
:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções possíveis para
:
Resposta
As soluções constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Verifique que a função dada é solução da equação dada.
, e
Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Determine
que satisfaça as condições dadas.
Uma partícula de massa 1 kg desloca-se sobre o eixo
e sabe-se que sobre ela atuam uma força constante, paralela ao movimento, de 5 N e uma força de resistência, também paralela ao movimento, e cuja intensidade é igual à velocidade
. Sabe-se, ainda, que
. Qual a posição da partícula no instante
?