Verifique que a função dada é solução da equação dada. x(t) = tan(t), -pi/2 < t < pi/2, e d x/d t = 1 + x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função , definida no intervalo , é solução da equação diferencial . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como elas funcionam com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a . Sabemos que a derivada de é . Então,

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado direito da equação diferencial, que é . Substituindo por , temos:

Passo 4

Sabemos de uma identidade trigonométrica que . Portanto,

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que ambas são iguais.

Resposta

Então, concluímos que é realmente uma solução da equação diferencial .

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