Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: "Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
". Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de variáveis separáveis, que é um tipo de equação onde a gente consegue separar as variáveis
e
dos lados opostos da igualdade. Para resolver, vamos precisar entender como separar essas variáveis e então integrar as duas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é de variáveis separáveis. Olhando para
, vemos que podemos reescrever essa equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para isolar
:
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver em termos de
, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como
. Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
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Verifique que a função dada é solução da equação dada.
, e