Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo variáveis separáveis. Isso significa que podemos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
em lados diferentes da igualdade. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e depois integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Como queremos separar
e
, vamos rearranjar essa equação. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com
estão de um lado e os termos com
estão do outro.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções das quais derivamos para chegar às expressões atuais.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 4
Agora, juntamos as duas integrais:
Podemos simplificar isso, combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Para isolar
, vamos exponenciar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo natural:
Sabemos que
e
. Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Como
pode ser positivo ou negativo, podemos simplificar para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Um fabricante de sistemas anti-incêndios por aspersão, usados na proteção contra incêndios em edifícios de escritórios, alega que a temperatura média real de ativação do sistema é de 130F. Uma amosta de
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O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com um desvio padrão de 15 minutos. Introduziu-se uma modificação com o objetivo de diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi de 12 minutos. Com o objetivo de verificar a eficácia do novo medicamento:
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Determine a região crítica para um nível de significância de
(d) Com base na região crítica, qual sua conclusão?
(R: (d) Rejeita a hipótese nula)
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Determine a região crítica para um nível de significância de
(d) Com base na região crítica, qual sua conclusão?
(R: (d) Rejeita a hipótese nula)
Verifique que a função dada é solução da equação dada.
e
Determine
que satisfaça as condições dadas.