Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo variáveis separáveis. Isso significa que podemos reorganizar a equação para separar as variáveis e em lados diferentes da igualdade. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e depois integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Como queremos separar e , vamos rearranjar essa equação. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com estão de um lado e os termos com estão do outro.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções das quais derivamos para chegar às expressões atuais.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:

Passo 4

Agora, juntamos as duas integrais:
Podemos simplificar isso, combinando as constantes e em uma única constante :

Passo 5

Para isolar , vamos exponenciar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo natural:
Sabemos que e . Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :
Como pode ser positivo ou negativo, podemos simplificar para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Determine a região crítica para um nível de significância de
(d) Com base na região crítica, qual sua conclusão?
(R: (d) Rejeita a hipótese nula)
Verifique que a função dada é solução da equação dada.
e
Determine que satisfaça as condições dadas.