Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo variáveis separáveis. Isso significa que podemos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
em lados diferentes da igualdade. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e depois integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Como queremos separar
e
, vamos rearranjar essa equação. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com
estão de um lado e os termos com
estão do outro.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções das quais derivamos para chegar às expressões atuais.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 4
Agora, juntamos as duas integrais:
Podemos simplificar isso, combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Para isolar
, vamos exponenciar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo natural:
Sabemos que
e
. Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Como
pode ser positivo ou negativo, podemos simplificar para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.