Um fabricante de sistemas anti-incêndios por aspersão, usados na proteção contra incêndios em edifícios de escritórios, alega que a temperatura média real de ativação do sistema é de 130F. Uma amosta de
sistemas testados, produz uma temperatura média amostral de ativação de
. Se a distribuição dos temperaturas de ativação fosse normal com desvio padrão populacional
, os dados contradiriam a alegação do fabricante a um nível de significância 0,01 ? (R: não )
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se a temperatura média de ativação dos sistemas anti-incêndios é realmente 130°F, conforme o fabricante alega. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses sobre a média, assumindo que as temperaturas seguem uma distribuição normal com desvio padrão conhecido de 1,5°F. Precisamos comparar a média amostral de 131,08°F com a média alegada de 130°F, usando um nível de significância de 0,01.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
-
Hipótese Nula (H₀): A média verdadeira é igual a 130°F.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A média verdadeira é diferente de 130°F.
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente, seja maior ou menor.
Passo 3
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da média, que nos ajuda a entender a variação esperada da média amostral. A fórmula do erro padrão (EP) é:
Onde:
-
(desvio padrão populacional) -
(tamanho da amostra)
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste Z, que nos indica quantos erros padrões a média amostral está distante da média alegada. A fórmula é:
Onde:
-
(média amostral) -
(média alegada) -
Calculando:
Passo 5
Precisamos determinar o valor crítico para o nível de significância
em um teste bilateral. Para
, dividimos esse valor por 2 para cada lado da distribuição:
Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente:
Passo 6
Agora, comparamos o valor Z calculado com o valor crítico:
Como
, não estamos na região de rejeição.
Resposta
Não, os dados não contradizem a alegação do fabricante ao nível de significância 0,01.
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(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Determine a região crítica para um nível de significância de
(d) Com base na região crítica, qual sua conclusão?
(R: (d) Rejeita a hipótese nula)
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
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