O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com um desvio padrão de 15 minutos. Introduziu-se uma modificação com o objetivo de diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi de 12 minutos. Com o objetivo de verificar a eficácia do novo medicamento:
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Determine a região crítica para um nível de significância de
(d) Com base na região crítica, qual sua conclusão?
(R: (d) Rejeita a hipótese nula)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem o tempo médio que um operário leva pra fazer uma tarefa, que inicialmente é de 100 minutos com um desvio padrão de 15 minutos. A empresa mudou algo pra tentar reduzir esse tempo e tirou uma amostra de 16 operários que passaram a levar, em média, 12 minutos. A matéria aqui é Teste de Hipóteses, que vamos usar pra verificar se a mudança realmente ajudou a diminuir o tempo. Vamos precisar entender como formular hipóteses, erros tipo I e II, região crítica e tirar uma conclusão baseada nisso tudo.

Passo 2

(a) Vamos formular isso como um teste de hipóteses. Primeiro, definimos a hipótese nula ( ) e a hipótese alternativa ( ).
  • Hipótese Nula ( ): A modificação não diminuiu o tempo médio. Então, minutos.
  • Hipótese Alternativa ( ): A modificação diminuiu o tempo médio. Então, minutos.

Passo 3

(b) Agora, vamos interpretar os erros Tipo I e Tipo II.
  • Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Nesse contexto, seria achar que a modificação diminuiu o tempo quando, na verdade, não diminuiu.
  • Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Ou seja, concluir que a modificação não diminuiu o tempo quando, na verdade, ela diminuiu.

Passo 4

© Vamos determinar a região crítica para um nível de significância de 5%. Primeiro, calculamos o erro padrão ( ) usando a fórmula:
Agora, encontramos o valor crítico da distribuição normal para 5% à esquerda (porque nossa hipótese alternativa é ).
Usando tabelas de z ou uma calculadora, o valor crítico para é aproximadamente .
Convertendo isso para a escala do nosso problema:
Então, a região crítica é minutos.

Passo 5

(d) Com base na região crítica, vamos verificar se o tempo médio da amostra está dentro dessa região.
A média da amostra é 12 minutos, que é muito menor que 93.83 minutos. Isso significa que estamos na região crítica.

Resposta

Rejeita a hipótese nula.

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de verificar a eficácia do novo medicamento:
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Determine a região crítica para um nível de significância de
(d) Com base na região crítica, qual sua conclusão?
(R: (d) Rejeita a hipótese nula)
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