Determine
que satisfaça as condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem que encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
na equação. Isso significa que vamos colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para separar as variáveis:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é:
Calculando as integrais:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, vamos inverter ambos os lados para encontrar
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo o valor de
na equação de
, temos:
Portanto, a solução que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Verifique que a função dada é solução da equação dada.
e
Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Resolva.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que se a derivada de
for igual a -1 para todo
, então
com
em
, será solução da equação.