Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas.
d y/d x = 3 y^2, y(0) = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem que encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e na equação. Isso significa que vamos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para separar as variáveis:

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é:
Calculando as integrais:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, vamos inverter ambos os lados para encontrar :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo o valor de na equação de , temos:
Portanto, a solução que satisfaz as condições dadas é:

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