Resolva as equações. d y/d x = (x + y)/(x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é: . A gente está lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a resolução. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver. Vamos definir . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de v e x.

Passo 3

Derivando em relação a x, usamos a regra do produto:

Passo 4

Substituímos e y na equação original:

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Isolamos :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Vamos separar as variáveis:

Passo 8

Agora, vamos integrar ambos os lados:
À esquerda:
À direita:

Passo 9

Igualando as integrais e substituindo :

Passo 10

Podemos simplificar a expressão final se preferir, mas essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde C é a constante de integração.

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