Resolva as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é:
. A gente está lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a resolução. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver. Vamos definir
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Isolamos
:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Vamos separar as variáveis:
Passo 8
Agora, vamos integrar ambos os lados:
À esquerda:
À direita:
Passo 9
Igualando as integrais e substituindo
:
Passo 10
Podemos simplificar a expressão final se preferir, mas essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine
que satisfaça as condições dadas.
Considere as equações autônomas abaixo. Em cada caso, determine os pontos críticos da equação e classifique-os quando a sua estabilidade. Sem resolver explicitamente as equações diferenciais, esboce os gráficos das suas soluções para diferentes condições iniciais
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.