Resolva as equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é: . A gente está lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a resolução. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver. Vamos definir . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 3

Derivando em relação a , usamos a regra do produto:

Passo 4

Substituímos e na equação original:

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Isolamos :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Vamos separar as variáveis:

Passo 8

Agora, vamos integrar ambos os lados:
À esquerda:
À direita:

Passo 9

Igualando as integrais e substituindo :

Passo 10

Podemos simplificar a expressão final se preferir, mas essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine que satisfaça as condições dadas.
Considere as equações autônomas abaixo. Em cada caso, determine os pontos críticos da equação e classifique-os quando a sua estabilidade. Sem resolver explicitamente as equações diferenciais, esboce os gráficos das suas soluções para diferentes condições iniciais .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.
Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis e resolva.