Assinale para as afirmações FALSAS e para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Todo conjunto LI de vetores é base de LD, então
( ) Se é LD, então tanto pode ser LD como LI.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa analisar várias afirmações sobre vetores e determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). O assunto principal aqui é a independência linear (LI) e dependência linear (LD) de conjuntos de vetores, que são conceitos fundamentais em Álgebra Linear. Para resolver, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente e como isso se relaciona com bases em espaços vetoriais como .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se isso não for possível, o conjunto é dito linearmente dependente (LD).
Agora, vamos analisar cada afirmação:
Afirmação 1: LI LI
Aqui, está dizendo que se dois vetores e são linearmente independentes, então adicionando um terceiro vetor , o conjunto ainda será linearmente independente. Isso nem sempre é verdade, porque pode ser uma combinação linear de e , tornando o conjunto dependente.
Afirmação 2: Todo conjunto LI de vetores é base de
Uma base de precisa ter exatamente três vetores que são linearmente independentes. Então, se temos um conjunto LI com menos ou mais de três vetores, ele não pode ser uma base de . Portanto, nem todo conjunto LI é uma base; apenas conjuntos com exatamente três vetores LI são bases.
Afirmação 3: LD LD
Se dois vetores e são linearmente dependentes, adicionar um terceiro vetor não muda o fato de que o conjunto original já era dependente. Então, o conjunto com três vetores também será dependente.
Afirmação 4: LD, então
Aqui, está afirmando que se três vetores são linearmente dependentes, então eles são paralelos entre si. Isso não é verdade, pois a dependência linear significa que pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros, mas não necessariamente que todos são paralelos.
Afirmação 5: Se é LD, então tanto pode ser LD como LI.
Se três vetores são linearmente dependentes, os dois primeiros vetores podem ser independentes ou dependentes. Se for independente, então é uma combinação deles. Se for dependente, então todos os três são dependentes.