Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada? Z-; adição;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto (que representa os números inteiros negativos) forma um grupo quando usamos a operação de adição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática e verificar se atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Na matemática, um grupo é um conjunto que, junto com uma operação binária (como adição ou multiplicação), satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: A operação entre quaisquer dois elementos do conjunto resulta em outro elemento também do conjunto.
  2. Associatividade: A operação é associativa, ou seja, para quaisquer no conjunto.
  3. Elemento neutro: Existe um elemento no conjunto que, quando combinado com qualquer outro elemento através da operação, não altera esse elemento. Na adição, esse elemento é o 0.
  4. Inversos: Para cada elemento no conjunto, existe outro elemento que, quando combinado com ele através da operação, resulta no elemento neutro.

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com a operação de adição:
  1. Fechamento: Se pegarmos dois números inteiros negativos e os somarmos, o resultado também será um número inteiro negativo. Por exemplo, . Então, o fechamento está ok.
  2. Associatividade: A adição dos inteiros é sempre associativa. Não importa como agrupamos os números, o resultado será o mesmo. Por exemplo, e . Portanto, a associatividade também está satisfeita.
  3. Elemento neutro: Aqui é onde temos um problema. O elemento neutro para a adição é o 0. Mas 0 não pertence ao conjunto (já que ele inclui apenas os inteiros negativos). Sem o elemento neutro, o conjunto não pode ser um grupo.
  4. Inversos: Mesmo que tentássemos, não teríamos inversos dentro do conjunto. Por exemplo, o inverso de seria , que não está em .

Resposta

Como o conjunto não possui o elemento neutro e nem os inversos necessários, com a operação de adição não forma um grupo.

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