Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
; adição;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto
(que representa os números inteiros negativos) forma um grupo quando usamos a operação de adição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo na matemática e verificar se
atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Na matemática, um grupo é um conjunto que, junto com uma operação binária (como adição ou multiplicação), satisfaz quatro propriedades fundamentais:
- Fechamento: A operação entre quaisquer dois elementos do conjunto resulta em outro elemento também do conjunto.
- Associatividade: A operação é associativa, ou seja,
para quaisquer no conjunto. - Elemento neutro: Existe um elemento no conjunto que, quando combinado com qualquer outro elemento através da operação, não altera esse elemento. Na adição, esse elemento é o 0.
- Inversos: Para cada elemento no conjunto, existe outro elemento que, quando combinado com ele através da operação, resulta no elemento neutro.
Passo 3
Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
com a operação de adição:
-
Fechamento: Se pegarmos dois números inteiros negativos e os somarmos, o resultado também será um número inteiro negativo. Por exemplo,
. Então, o fechamento está ok. -
Associatividade: A adição dos inteiros é sempre associativa. Não importa como agrupamos os números, o resultado será o mesmo. Por exemplo,
e . Portanto, a associatividade também está satisfeita. -
Elemento neutro: Aqui é onde temos um problema. O elemento neutro para a adição é o 0. Mas 0 não pertence ao conjunto
(já que ele inclui apenas os inteiros negativos). Sem o elemento neutro, o conjunto não pode ser um grupo. -
Inversos: Mesmo que tentássemos, não teríamos inversos dentro do conjunto. Por exemplo, o inverso de
seria , que não está em .
Resposta
Como o conjunto
não possui o elemento neutro e nem os inversos necessários,
com a operação de adição não forma um grupo.