Verifique se o conjunto
e
junto com a operação definida por
é um grupo.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto chamado
, que são todos os números inteiros. A operação que estamos usando é
definida por
para qualquer
. Hoje, vamos verificar se esse conjunto com essa operação forma um grupo. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um grupo na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir a fechamento. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer do conjunto
e aplicarmos a operação
, o resultado também deve estar em
. No nosso caso,
. Como
pertence a
, o resultado também está em
. Então, o fechamento tá ok.
Passo 3
Agora, vamos ver a associatividade. Isso quer dizer que a maneira de agrupar os elementos não muda o resultado. Matemáticamente, para todos
, deve valer que
.
Vamos calcular cada lado:
Ambos deram
, então a operação é associativa.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o elemento identidade. Esse elemento, que a gente chama de
, precisa satisfazer
para todo
.
Vamos tentar encontrar
:
- Pela definição,
. Para isso ser igual a , precisaríamos que para qualquer , o que não é possível porque deve ser único. - Similarmente,
, o que está correto, mas já vimos que o outro lado não funciona.
Então, não existe um elemento identidade que funcione para todos os
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar os elementos inversos. Cada elemento
precisa ter um inverso
tal que
.
Como não encontramos um elemento identidade
, não podemos ter inversos. Sem identidade, os inversos não fazem sentido nesse contexto.
Resposta
Não, o conjunto
com a operação
não forma um grupo, pois não possui um elemento identidade e, consequentemente, não há elementos inversos.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
, e
em
. Determine se esses vetores formam uma base para
. Caso contrário, encontre a dimensão do subespaço gerado pelos vetores.
Assinale
para as afirmações FALSAS e
para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Todo conjunto LI de vetores é base de
LD, então
( ) Se é LD, então
tanto pode ser LD como LI.
( ) Todo conjunto LI de vetores é base de
( ) Se
Considere o conjunto de vetores
, onde
Encontre um sistema linear homogêneo cujas soluções sejam exatamente o subespaço gerado pelos vetores
, isto é, encontre um sistema linear homogêneo cujo espaço solução seja span
.
Verifique se o conjunto
junto com a operação usual de multiplicação em
constitui um grupo.