Verifique se o conjunto G=Z e ^* junto com a operação definida por a * b=a, forall a, b in Z é um grupo.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto chamado , que são todos os números inteiros. A operação que estamos usando é definida por para qualquer . Hoje, vamos verificar se esse conjunto com essa operação forma um grupo. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um grupo na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir a fechamento. Isso significa que se pegarmos dois elementos quaisquer do conjunto e aplicarmos a operação , o resultado também deve estar em . No nosso caso, . Como pertence a , o resultado também está em . Então, o fechamento tá ok.

Passo 3

Agora, vamos ver a associatividade. Isso quer dizer que a maneira de agrupar os elementos não muda o resultado. Matemáticamente, para todos , deve valer que .
Vamos calcular cada lado:
Ambos deram , então a operação é associativa.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o elemento identidade. Esse elemento, que a gente chama de , precisa satisfazer para todo .
Vamos tentar encontrar :
  • Pela definição, . Para isso ser igual a , precisaríamos que para qualquer , o que não é possível porque deve ser único.
  • Similarmente, , o que está correto, mas já vimos que o outro lado não funciona.
Então, não existe um elemento identidade que funcione para todos os .

Passo 5

Por fim, vamos verificar os elementos inversos. Cada elemento precisa ter um inverso tal que .
Como não encontramos um elemento identidade , não podemos ter inversos. Sem identidade, os inversos não fazem sentido nesse contexto.

Resposta

Não, o conjunto com a operação não forma um grupo, pois não possui um elemento identidade e, consequentemente, não há elementos inversos.

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