Considere os vetores v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,3,2), v3=(2,5,6,4), e v4= (2,6,8,5) em R^4. Determine se esses vetores formam uma base para R^4. Caso contrário, encontre a dimensão do subespaço gerado pelos vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá quatro vetores em e pede para saber se eles formam uma base para esse espaço. Se não formarem, queremos descobrir qual é a dimensão do subespaço que eles geram. Para isso, vamos usar conceitos de linearidade e independência linear. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles “preenchem” todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base para é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Como temos quatro vetores em um espaço de dimensão quatro, se conseguirmos mostrar que eles são independentes, então sim, formam uma base.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & 5 & 6 1 & 3 & 6 & 8 1 & 2 & 4 & 5
Agora, vamos fazer a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz a uma forma mais simples e verificar o posto (ou rank) da matriz. O posto nos diz quantas colunas são linearmente independentes.

Passo 4

Começando com a primeira linha, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 & 4 0 & 2 & 4 & 6 0 & 1 & 2 & 3

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos eliminar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Subtraímos duas vezes a segunda linha da terceira linha:
1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & -2 & -2 0 & 1 & 2 & 3
  • Subtraímos a segunda linha da quarta linha:
1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & -2 & -2 0 & 0 & -1 & -1

Passo 6

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. Queremos eliminar o elemento abaixo de -2:
  • Dividimos a terceira linha por -2 para simplificar:
1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & -1
  • Adicionamos a terceira linha à quarta linha para eliminar o -1:
1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Pronto! Agora a matriz está em forma escalonada. Observamos que há três linhas com pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha). Isso significa que o posto da matriz é 3.

Resposta

Os quatro vetores não formam uma base para porque são linearmente dependentes. O subespaço que eles geram tem dimensão 3.

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