Considere os vetores , e em . Determine se esses vetores formam uma base para . Caso contrário, encontre a dimensão do subespaço gerado pelos vetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá quatro vetores em e pede para saber se eles formam uma base para esse espaço. Se não formarem, queremos descobrir qual é a dimensão do subespaço que eles geram. Para isso, vamos usar conceitos de linearidade e independência linear. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles “preenchem” todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base. Uma base para é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Como temos quatro vetores em um espaço de dimensão quatro, se conseguirmos mostrar que eles são independentes, então sim, formam uma base.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos fazer a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz a uma forma mais simples e verificar o posto (ou rank) da matriz. O posto nos diz quantas colunas são linearmente independentes.
Passo 4
Começando com a primeira linha, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1:
Subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
Pronto! Agora a matriz está em forma escalonada. Observamos que há três linhas com pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha). Isso significa que o posto da matriz é 3.
Resposta
Os quatro vetores não formam uma base para porque são linearmente dependentes. O subespaço que eles geram tem dimensão 3.