Escolha apenas uma entre as questões abaixo e resolva:
(2.1) Seja E=(i, j, k) uma base ortonormal. Sendo u=1raiz3(i+j-k), v= 1raiz2(j+k) e v=1raiz6(2 i-j+k), prove que F=(u, v, w) é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a=3 i-2 j-k em relação à base F.
(2.2) Mostre que se E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M M^t=I, onde I é a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão 2.1! O enunciado nos dá uma base ortonormal e três vetores , e . Precisamos provar que também é uma base ortonormal e, depois, calcular as coordenadas do vetor nessa nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).

Passo 3

Vamos verificar se |u| = raiz(1raiz3)^2 + (1raiz3)^2 + (-1raiz3)^2 = raiz13 + 13 + 13 = raiz1 = 1 , |v| = raiz(1raiz2)^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1 e |w| = raiz(2raiz6)^2 + (-1raiz6)^2 + (1raiz6)^2 = raiz46 + 16 + 16 = raiz66 = raiz1 = 1 são vetores unitários. Isso significa calcular o comprimento de cada vetor e ver se é igual a 1.
Para :
Similarmente, para :
E para :
Então, todos têm comprimento 1.

Passo 4

Agora, vamos conferir se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
Calculando u cdot v = 1raiz3 cdot 0 + 1raiz3 cdot 1raiz2 + -1raiz3 cdot 1raiz2 = 0 + 1raiz6 - 1raiz6 = 0 :
u cdot w = 1raiz3 cdot 2raiz6 + 1raiz3 cdot -1raiz6 + -1raiz3 cdot 1raiz6 = 2raiz18 - 1raiz18 - 1raiz18 = 0
Calculando v cdot w = 0 cdot 2raiz6 + 1raiz2 cdot -1raiz6 + 1raiz2 cdot 1raiz6 = 0 - 1raiz12 + 1raiz12 = 0 :
Calculando :
Então, todos os produtos internos entre vetores diferentes são zero, confirmando a ortogonalidade.

Passo 5

Com isso, provamos que [a]F = a cdot u a cdot v a cdot w é uma base ortonormal.
Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor na base .
Para encontrar as coordenadas de em relação a , usamos a fórmula:

Passo 6

Calculando cada componente:
Primeiro, a cdot u = 3 cdot 1raiz3 + (-2) cdot 1raiz3 + (-1) cdot -1raiz3 = 3raiz3 - 2raiz3 + 1raiz3 = 2raiz3 :
a cdot v = 3 cdot 0 + (-2) cdot 1raiz2 + (-1) cdot 1raiz2 = 0 - 2raiz2 - 1raiz2 = -3raiz2
Segundo, a cdot w = 3 cdot 2raiz6 + (-2) cdot -1raiz6 + (-1) cdot 1raiz6 = 6raiz6 + 2raiz6 - 1raiz6 = 7raiz6 :
Terceiro, :

Resposta

As coordenadas do vetor [a]F = 2raiz3 -3raiz2 7raiz6 na base são:

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