Escolha apenas uma entre as questões abaixo e resolva:
(2.1) Seja uma base ortonormal. Sendo e , prove que é uma base ortonormal calcule as coordenadas do vetor em relação à base .
(2.2) Mostre que se e são bases ortonormais, então a matriz de mudança de base de para satisfaz , onde é a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão 2.1! O enunciado nos dá uma base ortonormal e três vetores , e . Precisamos provar que também é uma base ortonormal e, depois, calcular as coordenadas do vetor nessa nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).

Passo 3

Vamos verificar se , e são vetores unitários. Isso significa calcular o comprimento de cada vetor e ver se é igual a 1.
Para :
Similarmente, para :
E para :
Então, todos têm comprimento 1.

Passo 4

Agora, vamos conferir se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, todos os produtos internos entre vetores diferentes são zero, confirmando a ortogonalidade.

Passo 5

Com isso, provamos que é uma base ortonormal.
Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor na base .
Para encontrar as coordenadas de em relação a , usamos a fórmula:

Passo 6

Calculando cada componente:
Primeiro, :
Segundo, :
Terceiro, :

Resposta

As coordenadas do vetor na base são:

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Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos e em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo corresponde a ).
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(i) .
Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada? ; adição;
Assinale para as afirmações FALSAS e para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.

( ) Todo conjunto LI de vetores é base de

LD, então
( ) Se é LD, então tanto pode ser LD como LI.