Escolha apenas uma entre as questões abaixo e resolva:
(2.1) Seja uma base ortonormal. Sendo e , prove que é uma base ortonormal calcule as coordenadas do vetor em relação à base .
(2.2) Mostre que se e são bases ortonormais, então a matriz de mudança de base de para satisfaz , onde é a matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão 2.1! O enunciado nos dá uma base ortonormal e três vetores , e . Precisamos provar que também é uma base ortonormal e, depois, calcular as coordenadas do vetor nessa nova base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
Passo 3
Vamos verificar se , e são vetores unitários. Isso significa calcular o comprimento de cada vetor e ver se é igual a 1.
Para :
Similarmente, para :
E para :
Então, todos têm comprimento 1.
Passo 4
Agora, vamos conferir se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, todos os produtos internos entre vetores diferentes são zero, confirmando a ortogonalidade.
Passo 5
Com isso, provamos que é uma base ortonormal.
Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor na base .
Para encontrar as coordenadas de em relação a , usamos a fórmula: