Escolha apenas uma entre as questões abaixo e resolva:
(2.1) Seja uma base ortonormal. Sendo e , prove que é uma base ortonormal calcule as coordenadas do vetor em relação à base .
(2.2) Mostre que se e F=(f1, f2, f3) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M M^t=I, onde I é a matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão 2.1! O enunciado nos dá uma base ortonormal e três vetores , e . Precisamos provar que também é uma base ortonormal e, depois, calcular as coordenadas do vetor nessa nova base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
Passo 3
Vamos verificar se |u| = raiz(1raiz3)^2 + (1raiz3)^2 + (-1raiz3)^2 = raiz13 + 13 + 13 = raiz1 = 1 , |v| = raiz(1raiz2)^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1 e |w| = raiz(2raiz6)^2 + (-1raiz6)^2 + (1raiz6)^2 = raiz46 + 16 + 16 = raiz66 = raiz1 = 1 são vetores unitários. Isso significa calcular o comprimento de cada vetor e ver se é igual a 1.
Para :
Similarmente, para :
E para :
Então, todos têm comprimento 1.
Passo 4
Agora, vamos conferir se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.