Assinale o item que contém duas séries convergentes.
(a)
e
(b)
e
©
e
(d)
e
(e)
e
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das alternativas contém duas séries convergentes. Vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da série p e o teste da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada série das opções apresentadas para verificar se elas convergem ou não.
Passo 3
Opção (a):
-
Primeira Série:
- Simplificando, fica
- Para
grande, o termo geral se comporta como , ou seja, tende a . - Se o termo geral não tende a zero, a série diverge.
- Simplificando, fica
-
Segunda Série:
- Essa é uma série p com
. - Pelo teste da série p, ela converge.
- Essa é uma série p com
Conclusão da Opção (a): Uma série converge e a outra diverge. Não é a correta.
Passo 4
Opção (b):
-
Primeira Série:
- Como na opção (a), ela converge.
-
Segunda Série:
- Podemos reescrever como
. - Essa é uma série geométrica com razão
. - Pelo teste da série geométrica, ela diverge.
- Podemos reescrever como
Conclusão da Opção (b): Uma série converge e a outra diverge. Não é a correta.
Passo 5
Opção ©:
-
Primeira Série:
- Podemos reescrever como
. - Essa é uma série geométrica com razão
. - Pelo teste da série geométrica, ela converge.
- Podemos reescrever como
-
Segunda Série:
- Como na opção (a), ela diverge.
Conclusão da Opção ©: Uma série converge e a outra diverge. Não é a correta.
Passo 6
Opção (d):
-
Primeira Série:
- Igual à segunda série da opção (b), ela diverge.
-
Segunda Série:
- Como na opção ©, ela converge.
Conclusão da Opção (d): Uma série converge e a outra diverge. Não �� a correta.
Passo 7
Opção (e):
-
Primeira Série:
- Converge (como visto anteriormente).
-
Segunda Série:
- Converge (como visto na opção ©).
Conclusão da Opção (e): Ambas as séries convergem.
Resposta
A alternativa correta é a (e).