Assinale o item que contém duas séries convergentes.
(a) sumn=1^infty 1+n3-n e sumn=1^infty 1n^6
(b) sumn=1^infty 1n^6 e sumn=1^infty 7^n+14^n
© sumn=1^infty 2^n9^n-1 e sumn=1^infty 1+n3-n
(d) sumn=1^infty 7^n+14^n e sumn=1^infty 2^n9^n-1
(e) sumn=1^infty 1n^6 e sumn=1^infty 2^n9^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das alternativas contém duas séries convergentes. Vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da série p e o teste da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada série das opções apresentadas para verificar se elas convergem ou não.

Passo 3

Opção (a):
  • Primeira Série:
    • Simplificando, fica
    • Para grande, o termo geral se comporta como , ou seja, tende a .
    • Se o termo geral não tende a zero, a série diverge.
  • Segunda Série:
    • Essa é uma série p com .
    • Pelo teste da série p, ela converge.
Conclusão da Opção (a): Uma série converge e a outra diverge. Não é a correta.

Passo 4

Opção (b):
  • Primeira Série:
    • Como na opção (a), ela converge.
  • Segunda Série:
    • Podemos reescrever como .
    • Essa é uma série geométrica com razão .
    • Pelo teste da série geométrica, ela diverge.
Conclusão da Opção (b): Uma série converge e a outra diverge. Não é a correta.

Passo 5

Opção ©:
  • Primeira Série:
    • Podemos reescrever como .
    • Essa é uma série geométrica com razão .
    • Pelo teste da série geométrica, ela converge.
  • Segunda Série:
    • Como na opção (a), ela diverge.
Conclusão da Opção ©: Uma série converge e a outra diverge. Não é a correta.

Passo 6

Opção (d):
  • Primeira Série:
    • Igual à segunda série da opção (b), ela diverge.
  • Segunda Série:
    • Como na opção ©, ela converge.
Conclusão da Opção (d): Uma série converge e a outra diverge. Não �� a correta.

Passo 7

Opção (e):
  • Primeira Série:
    • Converge (como visto anteriormente).
  • Segunda Série:
    • Converge (como visto na opção ©).
Conclusão da Opção (e): Ambas as séries convergem.

Resposta

A alternativa correta é a (e).

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