Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um determinado número à medida que
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, a gente também vai calcular qual é esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro do expoente:
. Para entender o comportamento da sequência quando
fica muito grande, precisamos encontrar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito. Quando
é muito grande, os termos de menor ordem (como o “1” no numerador e o “6” no denominador) se tornam desprezíveis. Assim, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora que sabemos que
tende a 3 quando
vai para o infinito, podemos substituir esse resultado na expressão original:
Passo 5
Finalmente, sabemos que
. Já calculamos que o expoente tende a 6, então o limite da sequência é:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.