Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
e^(3 + (3n + 1)/(n + 6))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um determinado número à medida que cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, a gente também vai calcular qual é esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro do expoente: . Para entender o comportamento da sequência quando fica muito grande, precisamos encontrar o limite dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando vai para o infinito. Quando é muito grande, os termos de menor ordem (como o “1” no numerador e o “6” no denominador) se tornam desprezíveis. Assim, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora que sabemos que tende a 3 quando vai para o infinito, podemos substituir esse resultado na expressão original:

Passo 5

Finalmente, sabemos que . Já calculamos que o expoente tende a 6, então o limite da sequência é:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

Exercícios relacionados