Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar se a série infinita
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta útil quando lidamos com séries onde os termos são elevados a alguma potência de
.
Passo 2
O Teste da Raiz nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita da forma
Calculamos o limite:
E então:
- Se
, a série converge. - Se
ou , a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz na nossa série, temos:
Então, calculamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 5
O limite
é menor que 1. De acordo com o Teste da Raiz, isso significa que a série converge.
Resposta
A série
converge.