Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
sumn=1^infty(7 n+38 n+9)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar se a série infinita
sumn=1^infty(7n + 38n + 9)^n
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta útil quando lidamos com séries onde os termos são elevados a alguma potência de .

Passo 2

O Teste da Raiz nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita da forma
sumn=1^infty an
Calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
E então:
  • Se , a série converge.
  • Se ou , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz na nossa série, temos:
an = (7n + 38n + 9)^n
Então, calculamos:
raiz[n]|an| = raiz[n](7n + 38n + 9)^n = 7n + 38n + 9

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 7n + 38n + 9 tende ao infinito:
L = limn to infty 7 + 3n8 + 9n = 78
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 5

O limite é menor que 1. De acordo com o Teste da Raiz, isso significa que a série converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty(7n + 38n + 9)^n
converge.

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