Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
sumn=1^infty 9^n7^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar algum critério para determinar se a série é convergente ou divergente. A gente vai precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e usar isso para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
sumn=1^infty 9^n7^n-1
Podemos reescrever isso assim:
9^n7^n-1 = 9^n cdot 7^-(n-1) = 9^n cdot 7^1 - n
Simplificando mais:
9^n cdot 7^1 - n = 7 cdot (97)^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty 7 cdot (97)^n

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty a cdot r^n
Onde:
  • 7 cdot sumn=1^infty (97)^n = 7 cdot ( sumn=0^infty (97)^n - 1 ) é o primeiro termo,
  • é a razão da série.
No nosso caso, a série está começando em , mas podemos ajustar para facilitar:
Mas o importante aqui é identificar o valor de , que é .

Passo 4

Para uma série geométrica | 97 | = 97 approx 1,2857 , ela converge se e diverge se .
No nosso caso, . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , a condição para convergência não é satisfeita.

Passo 5

Portanto, como , a série geométrica diverge.

Resposta

A série é divergente.

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