Assinale o item que indica a correta solução do volume V do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = y^2 - x^2 + 1 e acima do retângulo R = [-1, 2] x [0, 2].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume. Aqui, queremos encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico dado por e acima de um retângulo no plano . Para isso, vamos usar integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, entendemos que para calcular o volume entre uma superfície e a região no plano , usamos a integral dupla:
Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração com base no retângulo . Isso significa que varia de a e varia de a .

Passo 4

Configura-se a integral dupla com os limites definidos:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a :
Calculando nos limites:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

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