EDO de primeira ordem linear
Qual é a solução geral da EDO d y/d x + y = e^x ?
y = e^x / 2 + C e^x
y = e^x/2 + C e^(-x)
y = e^(2 x) + C
y = e^x + C e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, do tipo linear. Ou seja, ela tem a forma geral . No nosso caso, e . Para resolver essa EDO, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem legal pra resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é na nossa equação. Aqui, . Agora, a gente calcula o fator integrante, que é dado por . Então, vamos calcular essa integral:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 3

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por esse fator. Isso vai transformar a equação numa forma que facilita a resolução. Vamos fazer isso:
Agora, a equação fica:

Passo 4

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação para encontrar . Integrando, temos:
O lado esquerdo simplifica para , e a integral do lado direito é:
Então, fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Para isso, dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é .

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