Um fabricante informa que suas lâmpadas têm vida média de 2000 h , com desviopadrão de 200h. Um teste realizado com 20 lâmpadas provenientes desse fabricante forneceu uma duração média de 1900h. Pode-se aceitar a informação do fabricante, ou a duração média de suas lâmpadas:
b) È menor que 2000h?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a vida útil das lâmpadas de um fabricante. A média que ele diz é de 2000 horas, com um desvio padrão de 200 horas. A gente fez um teste com 20 lâmpadas e a média foi de 1900 horas. A pergunta é: essa média realmente é menor que 2000 horas, considerando um nível de significância de 5%? Vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o teste de hipóteses para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média da vida útil das lâmpadas é igual a 2000 horas.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média da vida útil das lâmpadas é menor que 2000 horas.

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população (200 horas) e temos o tamanho da amostra (20 lâmpadas), podemos usar o teste Z para essa hipótese.

Passo 4

Vamos determinar o valor crítico para o teste Z com um nível de significância de 5% (α = 0,05). Como a hipótese alternativa é “menor que”, é um teste unilateral à esquerda. Consultando a tabela Z, o valor crítico é aproximadamente -1,645.

Passo 5

Agora, calculamos o estatístico de teste Z usando a fórmula:
Onde:
  • (média da amostra)
  • (média proposta pelo fabricante)
  • (desvio padrão)
  • (tamanho da amostra)
Calculando:

Passo 6

Comparamos o valor calculado de Z (-2,236) com o valor crítico (-1,645):
  • Se , rejeitamos a hipótese nula.
  • Se , não rejeitamos a hipótese nula.
Aqui, -2,236 < -1,645, então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, com nível de significância de 5%, podemos concluir que a média da vida útil das lâmpadas é menor que 2000 horas.

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