Equação diferencial de segunda ordem homogênea Qual é a solução geral da EDO
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial de segunda ordem que é homogênea. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da EDO
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e como achar suas soluções usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica a equação característica da EDO dada. A equação diferencial é
. Para encontrar a equação característica, substituímos
por
e
por 1, resultando em:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica
para encontrar os valores de
. Fazendo isso:
Aqui,
é a unidade imaginária, que satisfaz
.
Passo 4
Como as raízes são complexas e da forma
(neste caso,
e
), a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da EDO
é: