Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que y=x^2 é uma curva de nível da função f(x, y), que possui derivadas parciais bem definidas em (0,0). Então:
() partial fpartial y(0,0)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que tem derivadas parciais bem definidas no ponto . A curva é uma curva de nível dessa função, o que significa que é constante ao longo dessa curva. Nosso objetivo é verificar se a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, se é uma curva de nível, então existe uma constante tal que para todo ponto na curva .

Passo 3

Agora, vamos derivar essa relação para entender como as derivadas parciais de partial fpartial x cdot dxdy + partial fpartial y = 0 se comportam. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a , usando a regra da cadeia, temos:
Isso porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Sabemos que dydx = 2x implies dxdy = 12x , então podemos encontrar . Diferenciando em relação a , temos:
No entanto, no ponto , isso parece problemático porque , o que faria ser indefinido.

Passo 5

Porém, como a função tem derivadas parciais bem definidas em , a única maneira de a equação fazer sentido quando é se . Isso anula o segundo termo e evita o problema da divisão por zero no primeiro termo.

Resposta

Portanto, a alternativa está correta.

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