Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que tem derivadas parciais bem definidas no ponto
. A curva
é uma curva de nível dessa função, o que significa que
é constante ao longo dessa curva. Nosso objetivo é verificar se a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, se
é uma curva de nível, então existe uma constante
tal que
para todo ponto na curva
.
Passo 3
Agora, vamos derivar essa relação para entender como as derivadas parciais de
se comportam. Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
, usando a regra da cadeia, temos:
Isso porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Sabemos que
, então podemos encontrar
. Diferenciando
em relação a
, temos:
No entanto, no ponto
, isso parece problemático porque
, o que faria
ser indefinido.
Passo 5
Porém, como a função
tem derivadas parciais bem definidas em
, a única maneira de a equação
fazer sentido quando
é se
. Isso anula o segundo termo e evita o problema da divisão por zero no primeiro termo.
Resposta
Portanto, a alternativa
está correta.
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como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Calcule a derivada direcional de
em
no sentido e direção do vetor
.
Seja
e
dois lados de um triângulo que formam um ângulo
. Suponha que
e
e
variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos
, e
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e
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. Calcule a taxa de variação de
em relação ao tempo nesse instante.
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
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