Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo de volume usando integrais triplas. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro quadrante, ou seja, onde x, y e z são todos positivos, e que é limitado pelo plano e pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0). Para resolver isso, vamos usar integrais triplas e entender como delimitar nossa região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites do nosso sólido. No primeiro quadrante, x, y e z são maiores ou iguais a zero. O plano vai interceptar os eixos coordenados onde as outras duas variáveis são zero.
  • Quando y = 0 e z = 0:
  • Quando x = 0 e z = 0:
  • Quando x = 0 e y = 0:
Então, nosso sólido vai de x=0 a x=6, y=0 a y=4, e z=0 a z=2, mas precisamos ajustar esses limites pois o plano corta essas variáveis.

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e por último em x. Para isso, precisamos expressar z em função de x e y a partir da equação do plano:
Então, z varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para y em função de x. Quando z=0, temos:
Então, y varia de 0 a .

Passo 5

Por último, x varia de 0 a 6, já que no plano, quando y=0 e z=0, x=6.

Passo 6

Agora vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em z:
Agora, nossa integral fica:

Passo 8

Vamos integrar em y:
Calculando cada parte:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos integrar em x:
Depois de simplificar os termos, a integral se torna uma expressão polinomial em x que podemos integrar de 0 a 6.
Após realizar os cálculos (que envolvem expansão e integração termo a termo), chegamos ao valor final do volume.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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