Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano
e pelos planos coordenados.
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano
Passo 1
Beleza, temos um exercício de cálculo de volume usando integrais triplas. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro quadrante, ou seja, onde x, y e z são todos positivos, e que é limitado pelo plano
e pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0). Para resolver isso, vamos usar integrais triplas e entender como delimitar nossa região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites do nosso sólido. No primeiro quadrante, x, y e z são maiores ou iguais a zero. O plano
vai interceptar os eixos coordenados onde as outras duas variáveis são zero.
- Quando y = 0 e z = 0:
→ - Quando x = 0 e z = 0:
→ - Quando x = 0 e y = 0:
→
Então, nosso sólido vai de x=0 a x=6, y=0 a y=4, e z=0 a z=2, mas precisamos ajustar esses limites pois o plano corta essas variáveis.
Passo 3
Vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e por último em x. Para isso, precisamos expressar z em função de x e y a partir da equação do plano:
Então, z varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para y em função de x. Quando z=0, temos:
Então, y varia de 0 a
.
Passo 5
Por último, x varia de 0 a 6, já que no plano, quando y=0 e z=0, x=6.
Passo 6
Agora vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em z:
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Vamos integrar em y:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos integrar em x:
Depois de simplificar os termos, a integral se torna uma expressão polinomial em x que podemos integrar de 0 a 6.
Após realizar os cálculos (que envolvem expansão e integração termo a termo), chegamos ao valor final do volume.
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
e
dois lados de um triângulo que formam um ângulo
. Suponha que
e
e
variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos
, e
radianos, e
e
aumentam a uma taxa de
. Calcule a taxa de variação de
em relação ao tempo nesse instante.
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Use a definição sobre área liquida tomando
como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre o gráfico de
e o intervalo
.
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
c) O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos
e
.
c) O sólido limitado pelo cilindro