Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva acima do intervalo especificado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área sob a curva no intervalo de até . Para isso, vamos usar a definição de área como somatório, ou seja, somar várias pequenas áreas aproximadas. Vamos fazer isso de três jeitos diferentes: usando o extremo direito, o extremo esquerdo e o ponto médio de cada subintervalo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre somas de Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo será:
Isso significa que cada subintervalo terá comprimento .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de amostragem para cada método:
  1. Extremo Direito: O ponto de amostragem é o limite direito de cada subintervalo.
  2. Extremo Esquerdo: O ponto de amostragem é o limite esquerdo de cada subintervalo.
  3. Ponto Médio: O ponto de amostragem é o ponto médio de cada subintervalo.

Passo 4

Vamos agora construir a soma de Riemann para cada método. A soma de Riemann é uma aproximação da área total e é dada por:
Onde é o valor da função no ponto de amostragem.

4.1 Extremo Direito:

4.2 Extremo Esquerdo:

4.3 Ponto Médio:

é

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite dessas somas quando tende ao infinito para obter a área exata. Vamos fazer isso para cada método.

5.1 Extremo Direito:

5.2 Extremo Esquerdo:

5.3 Ponto Médio:

Passo 6

Vamos calcular a integral para encontrar a área exata:
Calculando os valores:

Resposta

A área sob a curva no intervalo de até é 18 unidades quadradas.

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