Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área sob a curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a definição de área como somatório, ou seja, somar várias pequenas áreas aproximadas. Vamos fazer isso de três jeitos diferentes: usando o extremo direito, o extremo esquerdo e o ponto médio de cada subintervalo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre somas de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo será:
Isso significa que cada subintervalo terá comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de amostragem
para cada método:
-
Extremo Direito: O ponto de amostragem é o limite direito de cada subintervalo.
-
Extremo Esquerdo: O ponto de amostragem é o limite esquerdo de cada subintervalo.
-
Ponto Médio: O ponto de amostragem é o ponto médio de cada subintervalo.
Passo 4
Vamos agora construir a soma de Riemann para cada método. A soma de Riemann é uma aproximação da área total e é dada por:
Onde
é o valor da função no ponto de amostragem.
4.1 Extremo Direito:
4.2 Extremo Esquerdo:
4.3 Ponto Médio:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite dessas somas quando
tende ao infinito para obter a área exata. Vamos fazer isso para cada método.
5.1 Extremo Direito:
5.2 Extremo Esquerdo:
5.3 Ponto Médio:
Passo 6
Vamos calcular a integral para encontrar a área exata:
Calculando os valores:
Resposta
A área sob a curva
no intervalo de
até
é 18 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
em
no sentido e direção do vetor
.
Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada.
.
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Seja
e
dois lados de um triângulo que formam um ângulo
. Suponha que
e
e
variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos
, e
radianos, e
e
aumentam a uma taxa de
. Calcule a taxa de variação de
em relação ao tempo nesse instante.