Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z em P = (2, 1, 0) no sentido e direção do vetor u = <1/3, 2/3, 2/3>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente ( ) é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos derivar em relação a , e :
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :

Passo 5

Antes de fazer o produto escalar, precisamos garantir que é um vetor unitário. Vamos conferir o comprimento de :
Então, já é unitário.

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

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