Calcule a derivada direcional de
em
no sentido e direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente (
) é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos derivar
em relação a
,
e
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Passo 5
Antes de fazer o produto escalar, precisamos garantir que
é um vetor unitário. Vamos conferir o comprimento de
:
Então,
já é unitário.
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Utilizando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da EDO dada.
.
Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é
, onde
é a área da base e
é a altura da pirâmide. Sejam
o comprimento e
a largura da base da pirâmide.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a
se
variar e
e
permanecerem constantes.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então: