Calcule a derivada direcional de
em
no sentido e direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente (
) é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos derivar
em relação a
,
e
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Passo 5
Antes de fazer o produto escalar, precisamos garantir que
é um vetor unitário. Vamos conferir o comprimento de
:
Então,
já é unitário.
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
.