Seja a e b dois lados de um triângulo que formam um ângulo theta. Suponha que a e b e theta variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos a=5 cm, b=4 cm, e theta = pi / 6 radianos, e a e b aumentam a uma taxa de 3 cm/s. Calcule a taxa de variação de theta em relação ao tempo nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo com dois lados, e , formando um ângulo . Esses lados e o ângulo estão mudando com o tempo, mas a área do triângulo sempre se mantém constante. No instante que estamos analisando, cm, cm, radianos, e tanto quanto estão aumentando a uma taxa de cm/s. Nosso objetivo é descobrir quão rápido está mudando nesse momento, ou seja, calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Como a área está constante, a derivada dessa expressão em relação ao tempo será igual a zero:

Passo 3

Vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo usando a regra do produto:
Sabemos que cm/s, então podemos substituir esses valores:

Passo 4

Simplificando os valores trigonométricos:
Substituindo na equação:

Passo 5

Calculando os termos:
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Racionalizando o denominador:

Resposta

A taxa de variação de em relação ao tempo nesse instante é:

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