Seja e dois lados de um triângulo que formam um ângulo . Suponha que e e variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos , e radianos, e e aumentam a uma taxa de . Calcule a taxa de variação de em relação ao tempo nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo com dois lados, e , formando um ângulo . Esses lados e o ângulo estão mudando com o tempo, mas a área do triângulo sempre se mantém constante. No instante que estamos analisando, cm, cm, radianos, e tanto quanto estão aumentando a uma taxa de cm/s. Nosso objetivo é descobrir quão rápido está mudando nesse momento, ou seja, calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Como a área está constante, a derivada dessa expressão em relação ao tempo será igual a zero:

Passo 3

Vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo usando a regra do produto:
Sabemos que cm/s, então podemos substituir esses valores:

Passo 4

Simplificando os valores trigonométricos:
Substituindo na equação:

Passo 5

Calculando os termos:
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Racionalizando o denominador:

Resposta

A taxa de variação de em relação ao tempo nesse instante é:

Exercícios relacionados

Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva acima do intervalo especificado.
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
a) O sólido no primeiro quadrante limitado pelo plano e pelos planos coordenados.
Use a definição sobre área liquida tomando como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre o gráfico de e o intervalo .