Seja
e
dois lados de um triângulo que formam um ângulo
. Suponha que
e
e
variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos
, e
radianos, e
e
aumentam a uma taxa de
. Calcule a taxa de variação de
em relação ao tempo nesse instante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo com dois lados,
e
, formando um ângulo
. Esses lados e o ângulo estão mudando com o tempo, mas a área do triângulo sempre se mantém constante. No instante que estamos analisando,
cm,
cm,
radianos, e tanto
quanto
estão aumentando a uma taxa de
cm/s. Nosso objetivo é descobrir quão rápido
está mudando nesse momento, ou seja, calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Como a área
está constante, a derivada dessa expressão em relação ao tempo
será igual a zero:
Passo 3
Vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo usando a regra do produto:
Sabemos que
cm/s, então podemos substituir esses valores:
Passo 4
Simplificando os valores trigonométricos:
Substituindo na equação:
Passo 5
Calculando os termos:
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Racionalizando o denominador:
Resposta
A taxa de variação de
em relação ao tempo nesse instante é: