Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que y=x^2 é uma curva de nível da função f(x, y), que possui derivadas parciais bem definidas em (0,0). Então:
() partial fpartial x(0,0)=1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre derivadas parciais e curvas de nível. A curva de nível dada é para uma função que tem derivadas parciais bem definidas no ponto . A gente precisa verificar se a afirmação está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde é constante. Neste caso, a curva de nível é , o que significa que para algum valor constante ao longo dessa curva.

Passo 3

Agora, vamos usar o fato de que ao longo da curva de nível d fd x = partial fpartial x + partial fpartial y cdot d yd x , a função 0 = partial fpartial x + partial fpartial y cdot d yd x não muda, ou seja, sua derivada total em relação a deve ser zero. A derivada total de em relação a é dada por:
Como na curva de nível, temos:

Passo 4

Vamos calcular d yd x = 2x para a curva d yd xg|(0,0) = 2 cdot 0 = 0 . Derivando em relação a :
No ponto , isso dá:

Passo 5

Substituindo 0 = partial fpartial x + partial fpartial y cdot 0 na equação da derivada total:
0 = partial fpartial x
Isso simplifica para:
partial fpartial x(0,0) = 0
Ou seja:

Resposta

A afirmação está errada. O correto é .

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