Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre derivadas parciais e curvas de nível. A curva de nível dada é para uma função que tem derivadas parciais bem definidas no ponto . A gente precisa verificar se a afirmação está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde é constante. Neste caso, a curva de nível é , o que significa que para algum valor constante ao longo dessa curva.

Passo 3

Agora, vamos usar o fato de que ao longo da curva de nível , a função não muda, ou seja, sua derivada total em relação a deve ser zero. A derivada total de em relação a é dada por:
Como na curva de nível, temos:

Passo 4

Vamos calcular para a curva . Derivando em relação a :
No ponto , isso dá:

Passo 5

Substituindo na equação da derivada total:
Isso simplifica para:
Ou seja:

Resposta

A afirmação está errada. O correto é .

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(a)
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