Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso nos dará os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, usamos a fórmula quadrática para encontrar as soluções:
Onde
,
, e
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
Agora, substituímos na fórmula:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção
e
, podemos determinar quais curvas estão acima e abaixo no intervalo [ -2, 3 ].
Substituindo um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Claramente,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de integração:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculamos a diferença entre os valores correspondentes a
e
:
Resposta
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja diferenciável no ponto
com
,
e
. Se
e
, encontre
.
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
A bateria gera uma diferença de potencial de
volts, enquanto a resistência
é de 100 ohms e a indutância L é de 0,5 henrys. Encontre a corrente
em cada instante t , se
.