Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Isso nos dará os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de onde as curvas se encontram.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
Multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, usamos a fórmula quadrática para encontrar as soluções:
Onde , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
Agora, substituímos na fórmula:
Portanto, temos duas soluções:

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção e , podemos determinar quais curvas estão acima e abaixo no intervalo [ -2, 3 ].
Substituindo um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Claramente, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de integração:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Portanto:
Á

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Calculamos a diferença entre os valores correspondentes a e :

Resposta

Portanto, a área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .
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