Suponha que seja diferenciável no ponto com , e . Se e , encontre .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável no ponto . Sabemos as derivadas parciais dessa função nesse ponto: , , e . Além disso, temos que , , e . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a quando , ou seja, com . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma função composta como , a derivada de em relação a pode ser encontrada usando a regra da cadeia. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de , e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
então .
então usamos a regra da derivada da seno:
então usamos a regra da potência:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas que encontramos na fórmula da regra da cadeia:
Sabemos que , , e , então:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, queremos encontrar essa derivada quando . Basta substituir por 1 na expressão.