Suponha que seja diferenciável no ponto com , e . Se e , encontre .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável no ponto . Sabemos as derivadas parciais dessa função nesse ponto: , , e . Além disso, temos que , , e . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a quando , ou seja, com . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma função composta como , a derivada de em relação a pode ser encontrada usando a regra da cadeia. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. então .
  2. então usamos a regra da derivada da seno:
  1. então usamos a regra da potência:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas que encontramos na fórmula da regra da cadeia:
Sabemos que , , e , então:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, queremos encontrar essa derivada quando . Basta substituir por 1 na expressão.

Passo 6

Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 7

Simplificando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a quando é .

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Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
d) O sólido limitado pelo paraboloide e o cilindro .
Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .
Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .