Suponha que w = f(x, y, z) seja diferenciável no ponto 1,0,2 com f_x(1,0,2)=1, f_y(1, 0, 2) = 2 e f_z(1,0,2) = 3. Se x = t, y = sen(pi t) e z = t^2 + 1, encontre d w / d t com t=1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável no ponto . Sabemos as derivadas parciais dessa função nesse ponto: , , e . Além disso, temos que , , e . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a quando , ou seja, com . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma função composta como , a derivada de em relação a pode ser encontrada usando a regra da cadeia. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. então .
  2. então usamos a regra da derivada da seno:
  1. então usamos a regra da potência:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas que encontramos na fórmula da regra da cadeia:
Sabemos que , , e , então:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, queremos encontrar essa derivada quando . Basta substituir por 1 na expressão.

Passo 6

Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 7

Simplificando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a quando é .

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