Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
d) O sólido limitado pelo paraboloide e o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido limitado por duas superfícies: um paraboloide dado por e um cilindro dado por . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas poderosas para calcular volumes de sólidos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.
Vamos igualar as equações:
Somando de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, vamos escolher as coordenadas mais convenientes para configurar a integral. Como temos simetria circular na interseção, coordenadas polares (ou cilíndricas) são uma boa opção.
Em coordenadas cilíndricas:
  • O elemento de volume
Os limites de integração serão:
  • varia de a (completando o círculo).
  • varia de a (raio do círculo de interseção).
  • Para , para cada ponto , varia do paraboloide ao cilindro:

Passo 4

Vamos simplificar as expressões para . Observando que:
Podemos reescrever isso usando a identidade trigonométrica :
Então:
Agora, montamos a integral tripla:
Integrando em primeiro:
Simplificando dentro da integral:
Então:
Integrando em :
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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(a)
Considere a função e o ponto do domínio de . Encontre a taxa de variação de no ponto na direção e sentido do vetor .
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Suponha que seja diferenciável no ponto com , e . Se e , encontre .