Encontre o volume dos seguintes sólidos usando integrais triplas:
d) O sólido limitado pelo paraboloide e o cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de um sólido limitado por duas superfícies: um paraboloide dado por e um cilindro dado por . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas poderosas para calcular volumes de sólidos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram, ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração.
Vamos igualar as equações:
Somando de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo de raio no plano .
Passo 3
Agora, vamos escolher as coordenadas mais convenientes para configurar a integral. Como temos simetria circular na interseção, coordenadas polares (ou cilíndricas) são uma boa opção.
Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de volume
Os limites de integração serão:
varia de a (completando o círculo).
varia de a (raio do círculo de interseção).
Para , para cada ponto , varia do paraboloide ao cilindro:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões para . Observando que:
Podemos reescrever isso usando a identidade trigonométrica :