Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que
é uma curva de nível da função
, que possui derivadas parciais bem definidas em
. Então:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação
está correta, dado que
é uma curva de nível da função
. Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais e como elas se relacionam com as curvas de nível de uma função.
Passo 2
Primeiro, o que é uma curva de nível? É basicamente o conjunto de pontos onde a função
mantém um valor constante. No caso,
é uma dessas curvas. Isso significa que para qualquer ponto nessa curva,
tem o mesmo valor.
Passo 3
Agora, sabemos que as derivadas parciais de
em
estão bem definidas, ou seja, existem e são finitas. A derivada parcial
nos diz como
muda quando só variamos
, mantendo
constante.
Passo 4
Como
é uma curva de nível, a variação de
ao longo dessa curva deve ser zero, já que o valor de
não muda. Para que isso aconteça, o gradiente de
deve ser perpendicular à tangente da curva de nível.
Passo 5
Vamos encontrar a tangente da curva
no ponto
. Derivando
em relação a
, temos
. Em
, isso dá
, então a tangente é horizontal, apontando na direção do eixo
.
Passo 6
O gradiente de
, que é dado por
, deve ser perpendicular a essa tangente. Como a tangente é na direção do eixo
, o gradiente deve estar na direção do eixo
. Isso implica que
e
.
Passo 7
Portanto, a derivada parcial
não pode ser zero, mas não temos informação suficiente para afirmar que ela é exatamente igual a 1.
Resposta
A afirmação
não é necessariamente correta.
Exercícios relacionados
Considere a função
e o ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de no ponto
.
(a) Determine a menor taxa de variação possível de
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Seja
e
, use a regra da cadeia para determinar
.
Considere a função
.
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor
.
(b) Encontre a taxa de variação de