Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação está correta, dado que é uma curva de nível da função . Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais e como elas se relacionam com as curvas de nível de uma função.

Passo 2

Primeiro, o que é uma curva de nível? É basicamente o conjunto de pontos onde a função mantém um valor constante. No caso, é uma dessas curvas. Isso significa que para qualquer ponto nessa curva, tem o mesmo valor.

Passo 3

Agora, sabemos que as derivadas parciais de em estão bem definidas, ou seja, existem e são finitas. A derivada parcial nos diz como muda quando só variamos , mantendo constante.

Passo 4

Como é uma curva de nível, a variação de ao longo dessa curva deve ser zero, já que o valor de não muda. Para que isso aconteça, o gradiente de deve ser perpendicular à tangente da curva de nível.

Passo 5

Vamos encontrar a tangente da curva no ponto . Derivando em relação a , temos . Em , isso dá , então a tangente é horizontal, apontando na direção do eixo .

Passo 6

O gradiente de , que é dado por , deve ser perpendicular a essa tangente. Como a tangente é na direção do eixo , o gradiente deve estar na direção do eixo . Isso implica que e .

Passo 7

Portanto, a derivada parcial não pode ser zero, mas não temos informação suficiente para afirmar que ela é exatamente igual a 1.

Resposta

A afirmação não é necessariamente correta.

Exercícios relacionados

Considere a função e o ponto .
(a) Determine a menor taxa de variação possível de no ponto .
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Seja e , use a regra da cadeia para determinar .
Considere a função .
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor .