Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que y=x^2 é uma curva de nível da função f(x, y), que possui derivadas parciais bem definidas em (0,0). Então:
() partial fpartial y(0,0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação partial fpartial y(0,0) = 1 está correta, dado que y = x^2 é uma curva de nível da função f(x, y). Isso está ligado ao estudo de derivadas parciais e como elas se relacionam com as curvas de nível de uma função.

Passo 2

Primeiro, o que é uma curva de nível? É basicamente o conjunto de pontos onde a função f(x, y) mantém um valor constante. No caso, y = x^2 é uma dessas curvas. Isso significa que para qualquer ponto nessa curva, f(x, y) tem o mesmo valor.

Passo 3

Agora, sabemos que as derivadas parciais de f em (0,0) estão bem definidas, ou seja, existem e são finitas. A derivada parcial partial fpartial y nos diz como f muda quando só variamos y, mantendo x constante.

Passo 4

Como y = x^2 é uma curva de nível, a variação de f ao longo dessa curva deve ser zero, já que o valor de f não muda. Para que isso aconteça, o gradiente de f deve ser perpendicular à tangente da curva de nível.

Passo 5

Vamos encontrar a tangente da curva y = x^2 no ponto (0,0). Derivando y em relação a x, temos dydx = 2x. Em (0,0), isso dá dydx = 0, então a tangente é horizontal, apontando na direção do eixo x.

Passo 6

O gradiente de f, que é dado por (partial fpartial x, partial fpartial y), deve ser perpendicular a essa tangente. Como a tangente é na direção do eixo x, o gradiente deve estar na direção do eixo y. Isso implica que partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) neq 0.

Passo 7

Portanto, a derivada parcial partial fpartial y(0,0) não pode ser zero, mas não temos informação suficiente para afirmar que ela é exatamente igual a 1.

Resposta

A afirmação partial fpartial y(0,0) = 1 não é necessariamente correta.

Exercícios relacionados