Considere a função f(x, y) = 2 * e^x * sen(y).
(b) Encontre a taxa de variação de f na origem na direção e sentido do vetor v = i + j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a taxa de variação da função na origem, ou seja, no ponto , na direção e sentido do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo multivariável. A gente vai precisar calcular o gradiente da função e depois fazer um produto escalar com o vetor direção adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente na origem . Substituindo e na expressão do gradiente:
Então, o gradiente na origem é .

Passo 4

O próximo passo é normalizar o vetor . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. A fórmula para normalizar um vetor é:
Calculando o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, podemos calcular a derivada direcional utilizando o gradiente e o vetor unitário. A fórmula da derivada direcional na direção de é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor é .

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