Considere a função .
(b) Encontre a taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a taxa de variação da função na origem, ou seja, no ponto , na direção e sentido do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo multivariável. A gente vai precisar calcular o gradiente da função e depois fazer um produto escalar com o vetor direção adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente na origem . Substituindo e na expressão do gradiente:
Então, o gradiente na origem é .

Passo 4

O próximo passo é normalizar o vetor . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. A fórmula para normalizar um vetor é:
Calculando o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, podemos calcular a derivada direcional utilizando o gradiente e o vetor unitário. A fórmula da derivada direcional na direção de é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A taxa de variação de na origem na direção e sentido do vetor é .

Exercícios relacionados

Seja e , use a regra da cadeia para determinar .
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então:
Dados a função e o ponto ,
(a) determine uma equação para a curva de nível de que passa pelo ponto e esboce essa curva no plano ;
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que é uma curva de nível da função , que possui derivadas parciais bem definidas em . Então: