Considere a função
.
(b) Encontre a taxa de variação de
na origem na direção e sentido do vetor
.
(b) Encontre a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a taxa de variação da função
na origem, ou seja, no ponto
, na direção e sentido do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo multivariável. A gente vai precisar calcular o gradiente da função e depois fazer um produto escalar com o vetor direção adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente na origem
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Então, o gradiente na origem é
.
Passo 4
O próximo passo é normalizar o vetor
. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. A fórmula para normalizar um vetor
é:
Calculando o comprimento de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, podemos calcular a derivada direcional utilizando o gradiente e o vetor unitário. A fórmula da derivada direcional
na direção de
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A taxa de variação de
na origem na direção e sentido do vetor
é
.